`

Михайло Ломоносов и математика его времени

Михаил Васильевич Ломоносов


МИХАЙЛО ЛОМОНОСОВ
И МАТЕМАТИКА ЕГО ВРЕМЕНИ

К трёхсотлетию со дня рождения

Содержание

Ломоносов — русский великан эпохи научных гигантов. Ломоносов не был математиком, но без математиков Ломоносова как первого русского учёного не было бы вовсе.
Здесь мы остановимся на тех математических идеях второй половины XVII века — первой половины XVIII века, которые оказали существенное воздействие на научные взгляды Ломоносова. Воззрения Ломоносова формировались под влиянием его современников, интеллектуальных лидеров эпохи просвещения — Ньютона, Лейбница, Вольфа и Эйлера.

1   Создание Академии наук

Русская наука началась с появления Академии наук и художеств, превратившейся со временем в Российскую академию наук наших дней. Рубеж XVII–XVIII веков — переломный этап истории человечества, время рождения коллективной науки. Эпоха создания научных обществ и академий сопровождалась революцией в естествознании, вызванной открытием дифференциального и интегрального исчисления. Новый язык математики дал возможность безупречно точного предсказания будущих событий.
Созданием Петербургской Академии наук как центра русской науки мы обязаны патриотизму Петра и космополитизму Лейбница. Именно Петр и Лейбниц стояли у истоков русской науки, подобно тому, как от Екатерины I и Эйлера мы отсчитываем историю отечественной математической школы. Нельзя не отметить выдающуюся роль, которую сыграл Лейбниц в создании Академии в России. Именно он подготовил для Петра подробный план ее создания (см. [1]). Лейбниц рассматривал Россию как мост для соединения Европы с Китаем, из конфуцианства которого Лейбниц надеялся извлечь необходимые этические прививки для душевного оздоровления Европы (см. [2]). Петр хотел видеть Лейбница основателем Академии в Петербурге, уговаривал его при личной встрече, назначив юстицратом с большим жалованием. Присутствовавшая на встрече Петра и Лейбница Елизавета-Шарлотта Орлеанская писала 10 декабря 1712 г. (см. [3]):
Любопытно отметить, что Петр неоднократно бывал на английском Монетном дворе в 1698 г. во время «Великого посольства». В ту пору Ньютон уже состоял на должности Хранителя Монетного двора и трудно себе представить, что он мог игнорировать визит Петра. Однако встречался ли Петр с Ньютоном точно неизвестно. Достоверно только, что один из ближайших соратников Петра — Яков Брюс — с Ньютоном общался (см. [4, p. 199]). В 1714 г., через два года после того, как Петр назначил Лейбница юстицратом, произошло неожиданное и несколько таинственное событие — А. Д. Меншиков обратился с просьбой о вступлении в Лондонское королевское общество и, как неудивительно, был принят, о чем ему сообщил письмом сам Ньютон (см. [5, Гл. 16]).

2   Ньютон, Лейбниц и революция в математике

Гений Ньютона открыл миру математические законы природы, подарил универсальный язык описания непрестанно меняющегося мира. Гений Лейбница указал людям возможности математики как надежного метода мышления, логики человеческого познания. Mathesis universalis и calculemus Лейбница навсегда стали мечтой и инструментом науки.
Под воздействием идей Ньютона и Лейбница формировалось новое научное мировоззрение (см., в частности, [6, Ch. 2]). Поворот естествознания на рубеже XVII и XVIII веков был определен созданием дифференциального и интегрального исчисления. Конкурирующие идеи общей математики Ньютона и Лейбница определяли все основные тенденции интеллектуальных поисков эпохи. Творчество Ломоносова служит тому ярким примером. Понять научные взгляды Ломоносова, разобраться в его гениальных озарениях и наивных заблуждениях невозможно без анализа и сопоставления установок Ньютона и Лейбница.
Монады Лейбница, флюксии и флюэнты Ньютона — продукты героической эпохи телескопа и микроскопа. Независимость достижений Лейбница и Ньютона очевидна — их подходы к проблеме, интеллектуальный багаж и интенции совершенно непохожи. Несмотря на это, поведенческим образцом для многих поколений ученых стал беспочвенный спор о приоритете между Лейбницем и Ньютоном. Лейбниц и Ньютон открыли одинаковые формулы, часть из которых была известна и до них. Как Лейбниц, так и Ньютон обладали своим особым приоритетом в создании дифференциального и интегрального исчисления. Дело в том, что эти учёные предлагали варианты математического анализа, основанные на принципиально различных подходах. Лейбниц строил анализ на актуальных бесконечно малых, возводя здание своей совершенной философской системы, известной как монадология. Центральную роль у Ньютона играл его «метод первых и последних отношений» — кинетический предшественник современной теории пределов.
Стационарное видение математических объектов Лейбница противостоит динамическому восприятию постоянно изменяющихся величин Ньютона. Источником идей Лейбница служили геометрические воззрения античности, которыми он восторгался с детства. Монада Евклида — математический инструмент исчисления, парный атому геометрии — точке. Математика Евклида — произведение человеческого духа. Монады Лейбница, вскормленные его мечтой о calculemus, — универсальный инструмент творения, познание которого приобщает человека к божественному промыслу в создании лучшего из миров.
Точка и монада в древности — независимые формы, представления о неделимых началах фигур и чисел. Обе идеи прочно встроены в концепцию универсального атомизма. В основе первичного представления о прямой с самого начала лежит ее двойственная — дискретно-непрерывная — природа. Лейбниц придал древней геометрической идее универсальное значение, увидев в ней божественный промысел.
Ньютон, познакомившийся с Евклидом лишь в зрелые годы, шел иным путем, воспринимая всеобщее движение как единожды данное при творении мира и потому несводимое к сумме состояний покоя. Замечательно точную характеристику Ньютона дал Кейнс в докладе [7], подготовленом к 300-летию Ньютона, празднование которого должно было состояться в Лондонском королевском обществе в 1942 г., но было перенесено на 1946 г. в связи с обстоятельствами военного времени. К сожалению, Кейнс скончался за три месяца до празднования и лекцию прочёл его брат. Кейнс писал:
Ньютон был последним учёным магом, а Лейбниц — первым математическим мечтателем.

3   Монадология Лейбница

Мировоззрение Лейбница, отраженное в его сочинениях, занимает уникальное место в человеческой культуре. Трудно найти в философских трудах его предшественников и более поздних мыслителей нечто сопоставимое с фантасмагорическими представлениями о монадах, особых и удивительных, неизменных и многообразных конструктах мира и мысли, предваряющих, составляющих и содержащих в себе все бесконечные проявления сущего. Полезно особо подчеркнуть, что источником философских идей Лейбница была математика. Лейбниц считал, что «наука необходима для подлинного счастья». Дж. Чайлд, переводчик на английский язык и исследователь ранних математических работ Лейбница, отмечает (cм. [8, Preface]):
«Монадология» [9, pp. 413–428] обычно датируется 1714 г. При жизни Лейбница это эссе никогда не издавалось. Более того, принято считать, что сам термин «монада» в его бумагах появляется с 1690 г., когда он уже был сложившимся знаменитым учёным.
Особое внимание к природе термина «монада» и придание специального значения дате его появления в сочинениях Лейбница — типичные продукты нового времени. Мало кто из образованных людей наших дней не сталкивался с основными понятиями планиметрии и не слыхал о Евклиде. Однако никто на школьной скамье не знакомился с понятием «монада». Доступные переводы «Начал» Евклида и популярные школьные учебники геометрии этот термин не содержат. Между тем понятие «монада» относится к числу первичных не только в геометрии Евклида, но и во всей науке Древней Эллады.
По Определению I Книги VII «Начал» Евклида (см. [10]) монада — «есть [то] через что каждое из существующих считается единым». Евклид тут же дает Определение II: «Число же — множество, составленное из монад». В известных переводах трактата Евклида вместо термина «монада» используется слово «единица».
Современному читателю трудно понять, почему выдающийся скептик III века Секст Эмпирик при изложении математических воззрений своих предшественников пишет (см. [11]): «Пифагор говорил, что началом сущего является монада, по причастности к которой каждое из сущего называется одним». И далее: «точка устроена по типу монады, ведь, как монада есть нечто неделимое, так и точка, и, как монада есть некое начало в числах, так и точка есть некое начало в линиях». А вот еще суждение того же рода, которое совсем несложно принять за цитату из «Монадологии»: «единое, поскольку оно есть единое, неделимо, и монада, поскольку она есть монада, не делится. Или если она делится на много частей, она становится совокупностью многих монад, а уже не [просто] монадою».
Стоит пояснить, что древние понимали особый статут начала счета. Для того чтобы перечислять, надо обособить перечисляемые сущности и только потом сопоставить их с символическим рядом числительных. Мы приступаем к счету тем, что «многое делаем единым». Особая роль акта начала счета нашла отражение в почти тысячелетнем диспуте о том, считать единицу (или монаду) натуральным числом или нет. Сейчас нам кажется чрезмерной особая щепетильность в выделении специальной роли единицы-монады как акта начала счета. Между тем так было далеко не всегда.
Со времен Евклида все серьезные учёные знали о существовании двух различных первичных понятий математики — точки и монады. По Определению I Книги I Евклида «точка есть то, что не имеет частей». Видно, что понятие точки совершенно отлично от определения монады, которая многое делает единым. Начальный элемент геометрии совсем не тот, что исходный пункт арифметики. Без понимания этого обстоятельства трудно осознать природу воззрений Лейбница. Стоит напомнить, что в современной теории множеств «то, что не имеет частей» — это так называемое пустое множество, исходный пункт универсума фон Неймана. Специального математического понятия, выражаемого словами «то, что многое делает единым», сейчас, пожалуй, нет. О современном определении монад в математике речь пойдет несколько ниже.
Первоклассный математик, Лейбниц с детства владел геометрией Евклида. Именно поэтому в «Монадологии» Лейбница особенно поражает уже раздел 1, дающий исходное представление о монаде:
Это определение монады как «простой» cубстанции, не имеющей частей, совпадает с евклидовым определением точки. В то же время разговор о сложной субстанции, составленной из монад, напоминает по структуре определение числа, данное Евклидом. Синтез двух первичных определений Евклида в лейбницевой монаде не случаен. Следует помнить, что XVII век — это век микроскопа. Уже в 1610 годах во многих странах Европы началось его массовое изготовление. С 1660 годов Европа очарована микроскопом Левенгука. «Путешествия Лемюэля Гулливера», вышедшие в 1726 г. из-под пера Джонатана Свифта, доставляют немало живых примеров проникновения понятий больших и малых количеств в культурную среду эпохи Просвещения.
Чтобы понять мировоззрение Лейбница и привлекательность его идей для естествознания, следует помнить, что сам он — математик по убеждениям. С раннего детства Лейбниц мечтал о «некоторого рода исчислении», оперирующим в «алфавите человеческих мыслей» и обладающим тем же совершенством, что математика достигла в решении арифметических и геометрических задач. Созданию такого универсального логического аппарата Лейбниц посвятил немало сочинений. Лейбниц постоянно подчеркивал свою любовь и преданность математике. Он отмечал, что его общие методические установки имеют основой «исследование способов анализа в математике, которой я предавался с таким рвением, что не знаю, многие ли сегодня найдутся, кто вложил ли в неё больше труда».

4   Вольф, учитель Ломоносова

Учителем Ломоносова стал Христиан Вольф, пропагандист монадологии и математического метода. Вольф рассматривался как вторая после Лейбница фигура континентальной науки. Первой фигурой туманного Альбиона был Ньютон. Нельзя не помнить, что интеллектуальная жизнь того времени была немало отравлена безумным спором о приоритете между Ньютоном и Лейбницем. Печальным последствием конфронтации стали застой и изоляция математической жизни Англии. На континенте известное пренебрежение к творчеству Ньютона приводило к начетничеству и канонизации учения Лейбница, часто понятого с искажениями. Вольф был скорее эпигоном, чем последователем Лейбница. Подлинными продолжателями идей Лейбница стали его ученики Бернулли и близкий к ним по жизни и мироощущению гениальный самоучка Эйлер.
Разъясняя свои педагогические принципы, Вольф писал (см. [12]):
Довольно скептически характеризуя стиль Вольфа, Гегель отмечал (см. [13, с. 363]):
Отметим, что Вольф был законодателем математической моды начала XVIII века. После отказа Лейбница перебраться в Петербург для создания Академии, план которой для Петра он разработал, именно Вольф рассматривался Петром в качестве ее руководителя. Написанный Вольфом четырехтомник «Первые основания всех математических наук», вышедший в 1710 г., был сокращен для более широкой аудитории и многократно переиздавался  (см. [14, с. 23]).

5   Ломоносов и вольфианство

Ломоносову были близки педагогические идеи Вольфа, с которым его связывали добрые чувства взаимного уважения. Математический метод Вольфа лежит в основе научных сочинений Ломоносова многих лет его творчества. Надо подчеркнуть, что в отличие от Вольфа, получившего первоклассное математическое образование, Ломоносов не имел достаточного знакомства с «Началами» Евклида и не владел дифференциальным и интегральным исчислением.
Следует особо отметить, что Ломоносов никогда не встречался с Эйлером (упоминая об этом, П. Л. Капица в своей знаменитой статье «Ломоносов и мировая наука» [15] изящно оговаривается: «если не считать возможных посещений Ломоносовым до его отъезда в Германию лекций Эйлера»). Поэтому до практического применения математики в сочинениях Ломоносова дело не доходит, а некоторые его представления о природе математических знаний наивны и неверны.
Например, в  гениальных «Рассуждениях о причине теплоты и холода», где выдвинуты основы молекулярно-кинетической теории тепла (см. [16, Гл. 1]), Ломоносов пишет [17, c. 25]:
Важно подчеркнуть, что из приведенного формально неверного тезиса о природе математических доказательств, Ломоносов выводит замечательное и вполне справедливое суждение:
Фактически, Ломоносов говорит здесь о технологии математического моделирования физической задачи, которая отличается от математического формализма как такового.
Следует особо остановиться на отношении Ломоносова к монадам. Развивая атомистические идеи корпускулярной физики, Ломоносов в своих работах 1743–1744 г.г. «Опыт теории о нечувствительных частицах тел и вообще о причинах частных качеств», «О сцеплении и расположении физических монад», «О составляющих природные тела нечувствительных физических частицах» и в переписке широко пользуется понятием монады, выделяя monades physicae. Физические монады Ломоносова близки к представлениям об атомах, а не к математическим монадам или идеальным монадам Лейбница. Многолетние самостоятельные размышления Ломоносова над строением материи заставили критически пересмотреть свои взгляды на монадологию по Вольфу. Гарет Джонс отмечал (см. [18, p. 81]):
Эволюция воззрений Ломоносова отражена в выборе латинских терминов поздних сочинений Ломоносова (см. [19]).
В феврале 1754 г. Ломоносов пишет Эйлеру [20, с. 503]1:
Стоит обратить внимание на то, что Ломоносов имеет в виду не идеи самого Лейбница, а их изложение в сочинениях Вольфа и его последователей. Сейчас нам известно письмо от Вольфа к Эрнсту Кристофу Мантельфелю от 11 мая 1746 г., из которого следует, что метафизика Вольфа по его собственному мнению существенно отличается от воззрений Лейбница (см. [22]).
Человек практической пользы, Ломоносов не смог остаться в стеснительных рамках вольфианства. Реальный, чувственный и целенаправленный опыт существенно потеснил идеи математической рациональности, гармонии и красоты универсальной первопричины в воззрениях и методологии Ломоносова.

6   Ломоносов и современность

Естественно-научное мировоззрение Ломоносова основано на математических идеях эпохи просвещения, восходивших к античной атомистике. Новая математика возникла как дифференциальное и интегральное исчисление. Дифференцирование — определение тенденций, а интегрирование — предсказание будущего по тенденциям. Христианская онтология в сочетании с микроскопом и телескопом стала источником научной революции в понимании мироздания. Монадология Лейбница и математические принципы философии природы Ньютона изменили античные представления об атоме — материальной неделимой частице и о монаде — начальном акте строгого мышления.
Проведем мысленный «физикалистский» эксперимент и направим сильный микроскоп в район некоторой точки на математической прямой. Тогда в окуляре мы увидим расплывшееся облачко с неясными краями, представляющее образ этой точки. Точка приобретет размеры — станет «монадой». При выборе объектива с еще большей степенью увеличения наблюдаемый нами кусочек «точки-монады» детализируется, станет крупнее и частично выйдет из поля зрения. При этом всякий раз мы имеем дело с одним и тем же числом, которое, если угодно, в некотором смысле и задается приведенным процессом «изучения микроструктуры прямой». Разглядывание точки под микроскопом иллюстрирует ее природу как монады. Так или примерно так могли бы рассуждать и Лейбниц и Ломоносов.
Представление о монаде стандартного вещественного числа, как о совокупности всех бесконечно близких к нему чисел, является общепринятым в инфинитезимальном анализе наших дней, возрожденном А. Робинсоном в 1961 г. под именем «нестандартный анализ» (см. [23], [24]). Робинсонов нестандартный анализ завершил догматический этап развития идей математического атомизма подобно тому, как воображаемая геометрия Лобачевского завершила догматический этап развития евклидовой геометрии.
Физические воззрения ХХI века имеют мало общего с атомизмом древних. Законы микромира мы осмысливаем в рамках квантомеханических представлений и принципа неопределенности, не отражаемых адекватно в аристотелевой логике. Математика сегодня переживает революционный отказ от консерватизма и категоричности. Свобода математики не сводится к отсутствию экзогенных ограничений на объекты и методы исследования. В немалой мере она проявляется в новых интеллектуальных средствах овладения окружающим миром, которые раскрепощают человека, раздвигая границы его независимости. Математика и физика осознали новые границы своей компетенции, очертили зоны совместной ответственноcти и сферы независимых интересов. Современные научные реалии по-новому освещают вклад Ломоносова в мировую культуру.
Пушкин — кумир и ковчег русского духа, характеризуя Ломоносова как «великого подвижника великого Петра», отмечал (см. [25, с. 21]):
Минуло почти двести пятьдесят лет с момента кончины Михаила Васильевича Ломоносова, а его творчество по-прежнему будит мысль и связано с самыми актуальными и противоречивыми идеями передовых разделов математики и естествознания. Завидная судьба, пример для подражания.

Литература

[1] Анри В. А., Роль Лейбница в создании научных школ в России// Успехи физ.наук, 169:12, 1329–1331 (1999).
[2] Hellenbroich E., G. W. Leibniz and the Ecumenical Alliance of All Eurasia// Fidelio, 5:3 (1996).
[3] Smith J., Leibniz Manuscript Transcriptions. http://www.jehsmith.com/philosophy/2009/01/peter-the-greats-decree-appointing-leibniz-to-the-russian-justizrat.html"
[4] Cracraft J. The Petrine Revolution in Russian Culture. Cambridge and London: The Belknap Press of Harvard University Press, 2004
[5] Вавилов С. И., Исаак Ньютон. М.–Л.: Изд. АН СССР, 1945.
[6] Ekeland I., The Best of All Possible Worlds. Mathematics and Destiny. Chicago and London: The University of Chicago Press, 2006.
[7] Keynes J. M., Newton, the Man. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Keynes_Newton.html
[8] Child  J. M., The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Mineola: Dover Publications, 2005 (First Published in 1920 by The Open Court Publishing Company, Chicago).
[9] Лейбниц Г. В., Сочинения. Т. 1. М.: Мысль,1982.
[10] Евклид, Начала. В трёх томах. М.–Л.: Гостехиздат, 1949.
[11] Секст Эмпирик, Сочинения. Т. 1. М.: Мысль, 1976.
[12] Роджерс Л., Историческая реконструкция математического знания// Математическое образование, 2001, 1(16), 74–85.
[13] Гегель, Сочинения. Т. 11. М.–Л.: Соцэкгиз, 1935.
[14] Юшкевич А. П. (ред.), История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 3. М.: Наука, 1972.
[15] Капица П. Л., Ломоносов и мировая наука// Успехи физ. наук, 87:1, 155–168 (1965).
[16] Кутателадзе С. С., Цукерман Р. В., Развитие теории теплоты в работах русских учёных. М.–Л.: Госэнергоиздат, 1949.
[17] Ломоносов М. В., Полное собрание сочинений. Т. 2. М.–Л.: Изд. АН СССР, 1951.
[18] Gareth Jones W., Russia's Eighteenth-Century Enlightenment. In: Leatherbarrow W. and Offord D. (Eds.) A History of Russian Thought. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, pp. 73–94
[19] Смирнова А. С., Волков С. Св., Atomus, monas и corpusculum в естественнонаучных трудах М. В. Ломоносова// В кн.: Индоевропейское языкознание и классическая филология — XI. СПб.: Нестор — История, 2007, сс. 278–284.
[20] Ломоносов М. В., Полное собрание сочинений. Т. 10. М.–Л.: Изд. АН СССР, 1957.
[21] Артемьева Т. В., Философия в Петербургской Академии наук XVIII века. СПб.: Санкт-Петербургский Центр истории идей, 1999.
[22] Lenders W., The analytic logic of G. W. Leibniz and Chr. Wolff: a problem in Kant research// Synthese, 23, 147–153 (1971).
[23] Robinson A., Non-Standard Analysis. With a foreword by Wilhelmus A. J. Luxemburg. Princeton: Princeton University Press, 1996 (A Paperback Reprint of the 2nd edition).
[24] Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Инфинитезимальный анализ. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2006.
[25] Пушкин А. С., Полное собрание сочинений. Т. 7. Л.: Наука, 1978.

Сноска:
1 О философских взглядах Эйлера см. [21, cc. 107–122].

С. Кутателадзе

Институт математики им. С. Л. Соболева
Новосибирск
12 апреля 2011 г.

Частично опубликовано:
Препринт № 264 Института математики им. С.Л. Соболева, 2011.

Сибирские электронные математические известия, 2011, Т. 8, A19–A28.


Available in English
File translated from TEX by TTHgold, version 4.00.
On 12 Apr 2011, 23:09.

Follow ssk_novosibirsk on Twitter Twitter
English Page Russian Page
© Кутателадзе С. С. 2011