УДК 51.01:164

А. И. Абакумов, Е. А. Палютин, М. А. Тайцлин, Ю. Е. Шишмарев

Категоричные квазимногообразия, 3—38.

Под квазимногообразием понимается квазимногообразие конечной или счётной сигнатуры. Квазимногообразие тогда и только тогда счётно категорично, когда оно локально конечно, а теория его бесконечных систем полна и модельно полна. Счётно категоричное квазимногообразие категорично в несчётных мощностях. Категоричное в несчётных мощностях квазимногообразие имеет главное обогащение, в котором каждая неодноэлементная система является свободной степенью фиксированной однопорожденной системы. Приводится пример счётно категоричного квазимногообразия, в котором имеются несвободные конечные системы со сколь угодно большим числом элементов. Замечается, что вопрос о существовании конечно аксиоматизируемого квазимногообразия, категоричного в несчётных мощностях, но не категоричного в счётной, тесно связан с одним вопросом из теории групп.

УДК 519.48

А. Т. Гайнов

Монокомпозиционные алгебры с ассоциативными степенями, 39—58.

В работе изучаются невырожденные монскомпозиционные алгебры с единицей, которые кратко будут называться м.алгебрами.

Теорема 1. Всякий собственный идеал м.алгебры ${\mathfrak A}$, ${\rm dim}\,({\mathfrak A})\geqslant 3$ содержит идемпотент, но не имеет своей единицы.

Теорема 2. Если присоединенная алгебра ${\mathfrak A}^{(+)}$ к м.алгебре ${\mathfrak A}$ йорданова, то ${\mathfrak A}$ - квадратичная алгебра.

Теорема 3. Пусть ${\mathfrak A}$ - конечномерная м.алгебра над полем $\Phi$, ${\rm card}\, \Phi\geqslant 7$. ${\mathfrak A}$ в том и только в том случае является алгеброй с ассоциативными степенями, когда она квадратичная.

УДК 519.48

Г. П. Кукин

Подалгебры свободной лиевой суммы алгебр Ли с объединенной подалгеброй, 59—86.

Задача описания подалгебр свободной лиевой суммы алгебр Ли была поставлена А. И. Ширшовым (РЖМат, 1962, №8, А215); там же приведен контрпример, показывающий, что теорема А. Г. Куроша в классе алгебр Ли несправедлива.

В настоящей работе описаны подалгебры, указанные в заглавии. Описание дано в терминах образующих и определяющих соотношений.

Показано, что если ${\mathcal F}$ - подалгебра свободной лиевой суммы алгебр Ли $H_{\alpha}$ с объединенной подалгеброй $H$, её пересечения со всеми $H_{\alpha}$ являются свободными алгебрами Ли, а ${\mathcal F}\cap H=0$, то ${\mathcal F}$ - свободная алгебра Ли.

В качестве следствия получается результат Д. И. Эйделькинда (РЖМат, 1971, №12, А255) и автора (РЖМат, 1971, №8, А237) о свободе декартовой подалгебры свободной лиевой суммы.

УДК 519.48+513.6

Е. В. Панкратьев

Об обратной задаче Галуа расширений разностных полей, 87—118.

Пусть ${\mathcal F}$ - инверсное разностное поле, т. е. поле с автоморфизмом $E$, $C$ - его поле констант (неподвижных элементов автоморфизма $E$), предполагаемое алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, $G$ - связная разрешимая матричная $C$-группа. Среди всех разностных расширений поля ${\mathcal F}$ выделен класс расширений, называемых сильно $G$-примитивными расширениями.

В статье доказано, что задача о существовании сильно $G$-примитивного расширения ${\mathfrak G}$ поля ${\mathcal F}$ такого, что разностная группа Галуа поля ${\mathfrak G}$ над ${\mathcal F}$ изоморфна группе $G$, сводится к рассмотрению свободных $Z$-подмодулей некоторой фактор-группы мультипликативной группы поля ${\mathcal F}$ и векторных подпространств над полем $C$ некоторого фактор-пространства аддитивной группы поля ${\mathcal F}$, рассматриваемой как векторное пространство над полем $C$. Полученные теоремы применяются к конкретным разностным полям, а именно к полю, совпадающему со своим полем констант, к полям конечной степени трансцендентности над полем $C(x)$, где элемент $x$ трансцендантен над $C$, к расширениям Пикара-Вессио ненулевой степени трансцендентности некоторого разностного подполя ${\mathcal F}_{0}$ и к полям формальных и сходящихся степенных рядов от одной переменной над полем $C$.