УДК 519.49

О. В. Белеградек

Категоричность в несчётных мощностях и $\aleph_1$-однородные модели, 125—129.

Тотально трансцендентная теория, у которой любая модель некоторой несчётной мощности $\aleph_1$-однородна, категорична в любой несчётной мощности.

УДК 51.01:518.5

А. Н. Дегтев

Об $m$-степенях простых множеств, 130—139.

Доказано существование рекурсивно перечислимых (р. п.) множеств с ретрассируемыми жесткими дополнениями, и если $A$ такое множество, то

(а) $B\geqslant_{m}A\Longrightarrow$ $m$-степень $B$ неминимальная;

(б) ($\exists B$ р. п.) ($m$-степени $A$ и $B$ не имеют точной нижней грани).

Показано также, что р. п. множество $R$ с бесконечным дополнением $r$-максимально, если и только если ($\forall A$ р. п.) ($R\subseteq A\&\overline{A}$, $R\setminus A$ бесконечны $\Longrightarrow$ $R$ и $A$ $m$-несравнимы). Приведены другие примеры простых множеств, $m$-степени р.п. надмножеств которых, обладают теми или иными свойствами.

УДК 519.48

К. А. Жевлаков

Квазирегулярные идеалы в конечно порожденных альтернативных кольцах, 140—161.

Основной результат: пусть $B$ - квазирегуляряый идеал конечно порожденного альтернативного кольца $A$, ${\mathfrak D}(A)$ - идеал $A$, порожденный всеми его ассоциаторами, тогда $D\cap{\mathfrak D}(A)$ лежит в нижнем ниль-радикале кольца $A$ (в частности, $D\cap{\mathfrak D}(A)$ - локально нильпотентное кольцо).

Из основного результата выводятся такие следствия:

В конечно порожденном альтернативном кольце с существенным тождественным соотношением радикал ${\mathfrak J}$ совпадает с нижним ниль-радикалом.

В свободном конечно порожденном альтернативном кольце радикал ${\mathfrak J}$ совпадает с нижним ниль-радикалом, а в произвольном свободном альтернативном кольце ${\mathfrak J}$, по крайней мере, локально нильпотентен.

УДК 519.48

К. А. Жевлаков

Радикал и представления альтернативных колец, 162—173.

В статье рассматривается новая концепция представления альтернативного кольца, отличная от джекобсоновской концепции бипредставлений.

Доказано: радикал Джекобсона ${\mathfrak J}({\mathfrak A})$ конечно порожденного альтернативного кольца ${\mathfrak A}$ совпадает с пересечением ядер всех неприводимых правых представлений кольца ${\mathfrak A}$; для любого конечно порожденного альтернативного кольца ${\mathfrak A} и кольца его правых умножений $A$ включения $a\in{\mathfrak J}({\mathfrak A})$ и $R_{a}\in{\mathfrak J}(A)$ эквивалентны.

Доказано также, что радикал Джекобсона конечно порожденного альтернативного кольца совпадает с пересечением ядер всех неприводимых справа бипредставлений этого кольца.

УДК 519.48

И. М. Михеев

Локально правонильпотентный радикал в классе правоальтернативных колец, 174—185.

Изучается понятие правой нильпотентности, введенное А. И. Ширшовым. Доказывается, что во всяком правоальтернативном кольце ${\mathfrak A}$ существует локально правонильпотентный радикал $M$, то есть локально правонильпотентный идеал $M$, который содержит в_себе все локально правонильпотентные идеалы ${\mathfrak A}$, а фактор-кольцо $\overline{\mathfrak A}={\mathfrak A}/M$ не содержит ненулевых локально правонильпотентных идеалов.

Приводится некоторая характеризация радикала $M$.

Из основного результата следует существование локально нильпотентного радикала в произвольном альтернативном кольце.

УДК 519.48

Ю. П. Размыслов

Об одном примере неразрешимых почти кроссовых многообразий групп, 186—205.

Описанные до сих пор почти кроссовы многообразия групп являются разрешимыми. Их описание содержится в теореме 54.31 из книги Х.Нейман "Многообразия групп" (Мир, 1969).

А. Ю. Ольшанский доказал, что среди разрешимых многообразий только указанные в теореме 54.31 многообразия являются почти кроссовыми (Разрешимые почти кроссовы многообразия групп, Мат.сб., 85, № 1(1971), 115-131).

Ю. П. Размыслов доказал существование неразрешимого почти кроссова многообразия в кострикинском многообразии ${\mathfrak K}_p$ локально конечных групп экспоненты $p>3$ (Об энгелевых алгебрах Ли, Алгебра и логика, 10, № 1 (1971), 33-44).

В § 1 рассматриваемой работы явно строится ненильпотентное многообразие ${\mathfrak V}_{p-2,p}$ алгебр Ли над полем характеристики $p>3$ с $(p-2)$-энгепйвым тождеством, всякое подмногообразие которого нильпотентно. В § 2 показывается,, что на алгебрах Ли из многообразия ${\mathfrak V}_{p-2,p}$ можно ввести операцию по формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа, и доказывается, что получающиеся группы порождают почти кроссово многообразие ${\mathfrak V}_{p}$.

УДК S19.48

А. М. Слинько

О радикалах йордановых колец, 206—215.

Доказана следующая теорема о метаидеалах йорданова кольца. Пусть ${\mathfrak R}$ - йорданово $\Phi$-операторное кольцо ($\Phi\ni\frac{1}{2}$), $I$ - идеал в ${\mathfrak R}$, ${\mathfrak M}$ - идеал в $I$ и кольцо $I/{\mathfrak M}$ не содержит нильпотентных идеалов. Тогда ${\mathfrak M}$ - идеал в ${\mathfrak R}$. Отсюда следует, что для любого наднильпотентного радикала $s$ в классе йордановых колец идеал $s$-полупростого кольца обязан быть $s$-полупростым. Если дополнительно предположить, что идеал $s$-радикального кольца всегда $s$-радикален, то радикал $s$ окажется идеально наследственным, т. е. для любого кольца и любого его идеала $I$ будет справедливо равенство $s(I)=Ins({\mathfrak R})$. В силу только что сказанного идеально наследственными в классе йордановых колец будут локально конечный, локально нильпотентный, верхний ниль-радикалы, а также радикалы Джекобсона и Маккриммона.

УДК 517.11:518.5

А. Н. Lachlan

Two theorems on many-one degrees of recursively enumerable sets, 216—229.

Teоpeмa 1. Каждая нерекурсивная рекурсивно перечислимая тьюрингова степень содержит минимальную рекурсивно паэечислвмую $m$-степень.

Теорема 2. Над каждой некреативной рекурсивно перечислимой $m$-степенью $a$ находится рекурсивно перечислимая $m$-степень такая, что для любой $m$-степени $c<a$ выполняется соотношение $c\leqslant b$

Константин Александрович Жевлаков (некролог), 230—234.