УДК 519.48

А. И. Будкин, В. А. Горбунов

Импликативные классы алгебр, 249—268.

В статье изучаются импликативные классы алгебр, являющиеся обобщением квазимногообразий. Дана структурная характеристика этих классов, показано, что классы $ZD_{\alpha}$-групп, $RK_{\alpha}$-групп и финитно-аппроксимируемых групп являются импликативными. Доказано, что существует $2^{2^n}$ различных $n$-импликативных классов групп. Построен пример локального реплично полного класса групп, не являющегося квазимногообразием. Доказано, что классы алгебр, $R$-аппроксимируемых относительно равенства, вхождения, а также классы групп, $R$-аппроксимируемых относительно сопряженности, являются счетно-локальным и при некоторых ограничениях на класс $R$.

УДК 519.48

И. В. Львов

О многообразиях ассоциативных колец. 1, 269—297.

Показано, что многообразие ассоциативных колец, порожденное конечным кольцом, может быть задано конечным числом тождеств и имеет только конечное число подмногообразий.

УДК 519.48

И. М. Михеев

Теорема Веддербарна об отщеплении радикала для (-1,1)-алгебр, 298—304.

В теории ассоциативных колец известна теорема Веддербарна об отщеплении радикала. Аналог этой теоремы установлен для некоторых классов неассоциативных колец, в частности, для йордановых и альтернативных колец.

В рассматриваемой работе устанавливается аналог теоремы Веддербарна об отщеплении радикала для (-1,1)-колец. Именно, доказывается, что произвольная конечномерная (-1,1)-алгебра $K$ над полем характеристики $\neq 2,3$, такая, что $K/R$ сепарабельна (здесь $R$ — радикал алгебры $K$), может быть представлена в виде $K=R+L$, где $L$ — подалгебра в $K$ и $R\cap L=0$.

УДК 519.48

А. А. Никитин

О наднильпотентных радикалах (-1,1)-колец, 305—311.

Доказано, что если $R$ — $\Phi$-операторное (-1,1)-кольцо $\left(\Phi\ni 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$ — $J$ — идеал в $R$, $M$ — идеал $J$ и фактор-кольцо $\overline{J}=J/M$ полупервично, то $M$ — идеал кольца $R$. Отсюда следует, что для любого наднидьпотентного радикала $S$ в классе (-1,1)-колец идеал $S$-полупростого кольца $S$-полупрост.

УДК 517.15

М. Г. Перетятькин

Сильно конструктивная модель без элементарных подмоделей и расширений, 312—322.

Теорема. Пусть $(\mathfrak{M},\nu)$ — сильно конструктивное дискретно упорядоченное множество. Тогда существует обогащение $\mathfrak{M}^{\ast}$ модели одним одноместным предикатом, такое, что $(\mathfrak{M}^{\ast},\nu)$ — сильно конструктивная модель и каждый элемент $a\in |\mathfrak{M}^{\ast}|$ формульно определим в $\mathfrak{M}^{\ast}$.

Отсюда, используя результат автора о том, что существует счетное дискретно упорядоченное множество, не имеющее собственных конструктивных элементарных расширений, получено

Следствие. Существует счетная сильно конструктивная модель сигнатуры $\sigma=\langle <, P^{1}\rangle$, у которой каждый элемент формульно определим и которая не имеет, собственных конструктивных элементарных расширений.

УДК 519.48

Р. Э. Роомельди

Нижний ниль-радикал (-1,1)-колец, 323—332.

Рассматриваются $\Phi$-операторные (-1,1)-кольца $\left(\frac{1}{6}\in\Phi\right)$. Доказано, что идеал полупервичного (-1,1)-кольца является полупервичным кольцом. Отсюда следует,что свойства нижнего ниль-радикала в классе (-1,1)-колец аналогичны свойствам того же радикала в классах ассоциативных и альтернативных колец. Кроме того, доказано, что идеал первичного (-1,1)-кольца является первичным кольцом. Этот результат сводит вопрос о существовании неассоциативяых первичных (-1,1)-колец к вопросу о существовании неассоциативных первичных локально-нильпотентных (-1,1)-колец с тождеством $[[x,y],z]=0$.

УДК 519.48

Р. Э. Роомельди

Нильпотентность идеалов в (-1,1)-кольцах с условием минимальности, 333—348.

Получено описание минимальных идеалов $\Phi$-операторных (-1,1)-колец $\left(\frac{1}{6}\in\Phi\right)$: они либо тривиальны, либо простые ассоциативные кольца. Следовательно, описание минимальных идеалов ассоциативных колец остается в силе для (-1,1)-колец. Доказано, что локально-нильпотентный радикал $L(R)$ (-1,1)-кольца $R$ с условием минимальности для двустбронних идеалов, содержащихся в $L(R)$, является нильпотентным. А если (-1,1)-кольцо $R$ удовлетворяет условию минимальности для правых (или для левых) идеалов, содержащихся в верхнем ниль-радикале $N(R)$, то $N(R)$ — нильпотентное кольцо. Поскольку (-1,1)-кольца без локально-нильпотентных идеалов ассоциативны, то легко получить описание фактор-колец $R/{L(R)}$ и $R/{N(R)}$, если (-1,1)-кольцо $R$ удовлетворяет условию минимальности.

УДК 519.44

С. А. Сыскин

Замечание о слиянии 2-элементов в конечной группе, 349—350.

Пусть $G$ — простая конечная группа, $T$ — ее силовская 2-подгруппа. Если два элемента из $T$, сопряженные в $Q$, сопряжены в $N_{G}(Т)$, то либо $T$ абелева, либо $G\cong U_{3}(2^n),\, Sz(2^n)$.

УДК 519.44

K. W. Roggenkamp

Relation modules of finite groups and related topics, 351—359.

Пусть $G$ — конечная группа, $d(G)$ — минимальное число ее порождающих и пусть $G$ изоморфна фактор-группе $F/R$, где $F$ — свободная группа с $d(G)$ порождающими. Группа $\overline{R}=R/[R,R]$, является $\mathbb{Z}G$-модулем относительно естественного действия $G$. Он называется минимальным модулем соотношений группы $G$. Если $р$ — максимальное проективное прямое слагаемое модуля $\overline{R}$, то модуль $Q\otimes_{\mathbb{Z}}P$ изоморфен прямой сумме $s$ экземпляров $\mathbb{Q}G$. Число $s=pr(G)$ не зависит от выбора минимального модуля соотношений. Доказывается, что $pr(G)=-d(G)-\mu$, где $\mu$ — минимальное число $\mathbb{Z}G$-порождающих разностного идеала группового кольца $\mathbb{Z}G$. В качестве теоретико-группового следствия выводится, что $d(G)\leqslant\max((d(G_{p})+1)+pr(G)$, где $G_{p}$ пробегает силовские $p$-подгруппы по всем простым числам, делящим порядок $G$. В заключение дается оценка числа порождающих минимального модуля соотношений.