УДК 517.11

Ю. Л. Ершов

Теория $A$-пространств, 369—416.

Изложен рад основных свойств $A$-пространств — топологических пространств, возникающих при исследовании функционалов высших типов моделей $\lambda$-исчисления и семантики языков программирования. Решается также ряд проблем Д. Скотта.

УДК 519.45

А. П. Замятин

Предмногообраэия полугрупп, элементарная теория которых разрешима, 417—432.

Описаны предмногообразия (квазимногообраэия, многообразия) полугрупп с разрешимой теорией с точностью до групп. Подмногообразие — наследственный и мультипликативно замкнутый класс полугрупп, содержащий одноэлементные полугруппы.

УДК 517.11:518.5

Г. Н. Кобзев

О $btt$-сводимости. II, 433—444.

Доказано, всякая нерекурсивная рекурсивно-перечислимая (р.п.) $T$-степень содержит бесконечное число $btt$-несравнимых простых не гиперпростых множеств минимальной $btt$-степени. Если $A$ — р.п. множество, то найдутся р.п. множества $B_{i},\,i\geqslant 0$, такие, что $A\leqslant_{q}B_{i}$, $A\equiv_{T}B_{i}$, $B_{i}\nleqslant_{btt}B_{j}$ $i\neq j$. Найдено р.п. множество $A$ со свойством $(\forall B)(B\equiv_{btt}A\Rightarrow B<_{btt}B^{\omega}\& B<_{btt}{}^{\omega}B)$. Замечено, если $A$ — $r$-максимальное множество, то $(\forall B)(B\equiv_{btt}A\Rightarrow A<_{m}B\vee A\leqslant_{m}\overline{B})$. Если же $A$ и $B$ — максимальные множества, то из $A\equiv_{tt}B$ следует $A\equiv_{m}B$.

УДК 517.12

Л. Л. Максимова

Структуры с импликацией, 445—467.

Строится алгебраическая интерпретация для ряда пропозициональных исчислений. Определяется класс моделей (так называемых стримпл) для логик без отрицания. Стримплы являются дистрибутивными решетками относительно операций, соответствующих конъюнкции и дизъюнкции; импликации соответствует дополнительная операция в стримплах.

Доказывается теорема о представлении стримпл, обобщающая теорему Стоуна о представлении дистрибутивных решеток; импликации в стримплах подмножеств определяются с помощью тернарного отношения на стоуновском пространстве. Далее доказываются теоремы о расширении стримпл до стримпл с дополнительной операцией умножения, причём импликация может быть выражена через это умножение следующим образом: $x\rightarrow y$ есть наибольшее $z$ такое, что $z\cdot x\leqslant y$.

Полученные результаты применяются к ряду позитивных логик, в том числе к позитивному фрагменту $E_{ICD}$ исчисления $E$ строгой импликации. В последнем п. 4 эти результаты расширяются на логики с отрицанием. В частности, доказаны теоремы о полноте для исчислений $SE$ и $E$.

УДК 519.46

Ю. И. Мерзляков

Автоморфизмы двумерных контруэнц-групп, 468—477.

Пусть $\mathfrak{O}$ — область целостности с единицей и полем частных $k$ характеристики $\neq 2$, $\mathfrak{A}$ — ее идеал, $GL(2,\mathfrak{O};\mathfrak{A})$ — ядро естественного гомоморфизма $GL(2,\mathfrak{O})\rightarrow GL(2,\mathfrak{O}/\mathfrak{A})$, $G$ — произвольная подгруппа группы $GL(2,\mathfrak{O};\mathfrak{A})$, содержащая все ее верхние и нижние унитреугольные матрицы. Доказывается, что идеал $\mathfrak{A}$ квазирегулярен, то каждый автоморфизм $\varphi$ группы $G$ может быть записан в виде $x^{\varphi}=\chi(x)g^{-1}x^{\sigma}g$, $x\in G$, где $\sigma\in{\rm Aut}\,k$, $g\in GL(2,k)$, $\chi\in{\rm Hom}\,(G,k^{\ast})$. При этом $\sigma$ и $\chi$ определяются автоморфизмом $\varphi$ однозначно, а $g$ — однозначно с точностью до умножения на скалярную матрицу. Условие квазирегулярности не может быть опущено. В качестве приложения описываются автоморфизмы одной конкретной конгруэнц-группы (РЖМат, 1964, 7А217; 1973, 9А244).

УДК 519.48

Р. Э. Роомельди

Разрешимость (-1,1)-ниль-колец, 478—489.

Показано, что (-1,1)-ниль-кольца ограниченного индекса являются разрешимыми. Этот результат доказывается с помощью следующего свойства (-1,1)-колец: в ассоциаторном идеале (-1,1)-кольца выполняется тождество $[[x,y],z]=0$. Отсюда следует, что любое (-1,1)-кольцо является расширением локально-нильпотентного (-1,1)-кольца с тождеством $[[x,y],z]=0$ с помощью ассоциативного.