УДК 51.01:518.5

В. И. Амстиславский

О вычислимости с функционалами, 497—511.

Пусть $N=\{0,1,2,\ldots\}$, $\mathcal{F}$ — множество всех (возможно, частичных) функций типа $N\rightarrow N$ и $\mathfrak{F}$ — множество всех совместных функционалов типа $\mathcal{F}\rightarrow N$. Пусть $\overline{F}$ и $\overline{\psi}$ — конечные последовательности элементов $\mathfrak{F}$ и $\mathcal{F}$ соответственно. Доказывается совпадение классов функций, а) вычислимых по Тьюрингу относительно $\overline{F}$, $\overline{\psi}$ и б) частично рекурсивных относительно $\overline{F}$, $\overline{\psi}$ в смысле Акцеля. Доказательство основано на сведении вычислимости относительно $F$, $\overline{\psi}$ к вычислимости относительно набора лишь функций из $\mathcal{F}$.

УДК 517.11:518.5

В. В. Вьюгин

О некоторых примерах верхних полурешеток вычислимых нумераций, 512—529.

1. Построен класс р.п. множеств, который имеет непустую верхнюю полурешетку вычислимых нумераций, обладающую следующим свойством: для любого элемента $a$ этой полурешетки существуют её элементы $b$ и $c$, такие, что $b\nleqslant c$, $c\nleqslant b$ и $a=b\cup c$. В частности, эта полурешетка не содержит минимальных элементов.

2. Для некоторой бесконечной последовательности достаточно простых классов р.п. множеств $\mathfrak{L}_{0},\mathfrak{L}_{1},\ldots,\mathfrak{L}_{n},\ldots$ доказано, что для любого $n$ верхняя полурешетка вычислимых нумераций класса $\mathfrak{L}_{n+1}$ содержит начальный сегмент, не изоморфный никакому начальному сегменту верхней полурешетки вычислимых нумераций класса $\mathfrak{L}_{x}$ при $x\leqslant n$. Из этого следует, что при $i\neq j$ верхние полурешетки вычислимых нумераций классов $\mathfrak{L}_{i}$ и $\mathfrak{L}_{j}$ не изоморфны.

3. Построен не эффективно дискретный класс р.п. множеств, верхняя полурешетка вычислимых нумераций которого является одноэлементной.

УДК 519.48

Г. В. Дорофеев

Центры неассоциативных колец, 530—549.

Кольцо $A$ называется $\alpha$-кольцом, если для любого элемента $n$ его ассоциативного центра $N$ и любого элемента $x\in A$ коммутатор $[n,x]$ принадлежит $N$. Квазимногообразие $\alpha$-колец содержит ряд изучавшихся ранее многообразий неассоциативных колец, и в частности, альтернативные кольца и кольца типа (-1,1). Доказывается, что в произвольном $\alpha$-кольце справедливо тождество
$$2(x,y,z)(u,v,w)[t,n]=0,$$ а в $\alpha$-кольце с тремя образующими — тождество
$$(x,y,z)[t,n]=0.$$ Эти тождества позволяют устанавливать соотношения между центрами и некоторыми важными идеалами в кольцах первичных и полупервичных. С другой стороны, они позволяют строить примеры центральных и ядерных функций в многообразиях, где уже имеются примеры ядерных функций. В частности, в классе альтернативных колец центральной функцией является $[(x,y,z),t]^{8}$, а в классе альтернативных колец с тремя образующими $[(x,y,z),t]^{4}$, $(x,y,z)^{4}$, $((x,y,z)\circ[u,v])^{2}$.

УДК 517.15

М. Г. Перетятькин

О полных теориях с конечным числом счётных моделей, 550—576.

Пусть $(\mathfrak{M},\nu)$ — сильно конструктивное дискретно упорядоченное множество. Доказывается, что существует обогащение $\mathfrak{M}^{\ast}$ модели $\mathfrak{M}$ одним одноместным предикатом такое, что $(\mathfrak{M}^{\ast},\nu)$ — сильно конструктивная модель и каждый элемент из $\vert\mathfrak{M}^{\ast}\vert$ формульно определим в $\mathfrak{M}^{\ast}$. Следствие: существует счётная сильно конструктивная модель сигнатуры $\sigma=\langle <,P^{1}\rangle$, у которой каждый элемент формульно определим и которая не имеет собственных конструктивных элементарных расширений.

УДК 519.45

В. Н. Ремесленников

Пример группы, конечно-определенной в многообразии $\mathfrak{A}^{5}$, с неразрешимой проблемой равенства, 577—602 .

Построен пример, указанный в заглавии. Кроме того, построена группа $G$ конечно-определенная в многообразии разрешимых групп ступени 4, и конечно-порожденная подгруппа $H$ группы $G$ такая, что проблема вхождения в подгруппу $Н$ неразрешима.

УДК 519.48

В. П. Шунков

Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах, 603—614.

Теорема. Если в бесконечной периодической группе некоторый элемент простого порядка $p$ и любой элемент порядка $p$ порождают конечную подгруппу, то сама группа обладает бесконечной подгруппой с нетривиальным центром.

С помощью этой теоремы доказывается, что всякая бесконечная бипримитивно конечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой. В частности, проблема Шмидта для таких групп решается отрицательно: бесконечная бипримитивно конечная группа, все собственные подгруппы которой конечны, — квазициклическая группа. Если проблема Шмидта решается положительно, то всякая бесконечная некоммутативная группа $G$, все собственные подгруппы которой конечны, удовлетворяет следующим условиям: а) в группе автоморфизмов группы $G$ нет элементов порядка 2; б) для любого $p\in\pi(G/Z(G))$ группа $G/Z(G)$ порождается двумя элементами порядка $p$, причём один из них можно считать произвольным, но фиксированным элементом порядка $p$. Кроме того, доказывается, что конечная 2-группа не может быть максимальной в бесконечной периодической группе.