УДК 517.11:518.5

С. Д. Денисов

Три теоремы об элементарных теориях и $tt$-сводимости, 5—8.

Теорема 1. а) $\mathcal{Th}(P_{2}K^{\prime})=\mathcal{Th}(P_{2}K^{\prime\prime})\Longleftrightarrow \mathcal{Th}(K^{\prime})=\mathcal{Th}(K^{\prime\prime})$; б) $\mathcal{Th}(P_{2}K)\equiv_{m}\mathcal{Th}(K)$, где $K$ — поле.

Теорема 2. Совокупность формул, порождающих разрешимую теорию,универсальна в $\Sigma^{0}_{3}$.

Теорема 3. Совершенное множество таблично не сводится к гипериммунному.

УДК 519.46

М. И. Кабенюк, В. Д. Мазуров

Циклические группы автоморфизмов топологических групп, 9—21.

Теорема. Циклическая группа порядка $n$ тогда и только тогда изоморфна группе всех автоморфизмов топологической группы, когда $n$ лежит в одном из следующих множеств натуральных чисел:
$T_{1}=\{(p^{k_{1}}-1)\ldots(p^{k_{s}}-1)\mid p-{\text{ простое число и }} (p^{k_{i}}-1,p^{k_{j}}-1)=1{\text{ для }}i\neq j\}$;
$T_{2}=\{p^{s}(p-1)\mid p-{\text{ нечётное простое число}}\}$;
$T_{3}=\{2m\mid m-{\text{ нечётное число}}\}$;
$T_{4}=\{4m\mid m{\text{ произведение простых чисел вида }}4s+1,{\text{ где }}s-{\text{ целое число}}\}$;
$T_{5}=\{m_{1}\cdot m_{2}\mid(m_{1},m_{2})=1,\, m_{1}\in T_{1},\, m_{2}\in\bigcup\limits_{i=1}^{4}T_{i}\}$.

УДК 518.5

Г. Н. Кобзев

О полной $btt$-степени, 22—25.

По определению, $A\leqslant_{bd}B$, если найдутся общерекурсивная функция $f(x)$ и число $k$ такие, что $(\forall x)(|D_{f(x)}\leqslant k\&(x\in A\Leftrightarrow B\cap D_{f(x)}\neq\varnothing))$ (здесь $D_{x}$ — стандартная нумерация конечных множеств). Если $A\leqslant_{bd}B$ и $B\leqslant_{bd}A$, то $A\equiv_{bd}B$. Доказывается, что если $K$ — креативное множество, $A$ — рекурсивно-перечислимое множество, то условия $K\equiv_{btt}A$ и $K\equiv_{bd}A$ эквивалентны. Из $K\equiv_{bd}A$ следует, что ${}^{k+1}A\leqslant_{m}{}^{k}A$ для некоторого $k$. Однако существует такое $A$, что $K\equiv_{bd}A$ и $(\forall k)(A^{k}<_{m}A^{k+1})$.

УДК 519.45

Н. С. Романовский

О некоторых алгоритмических проблемах для разрешимых групп, 26—34.

Построен алгоритм, решающий проблему вхождения для 2-ступенно разрешимых групп. Построен алгоритм, решающий проблему равенства для групп с одним соотношением в многообразии разрешимых групп данной ступени разрешимости при некоторых ограничениях на соотношение. Установлен критерий, когда факторы ряда коммутантов группы с одним соотношением не имеют кручения.

УДК 519.48

Д. М. Смирнов

Базисы и автоморфизмы свободных канторовых алгебр конечного ранга, 35—62.

Рассматривается многообразие алгебр $\langle A;\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\rangle$ фиксированного типа $\langle 1,\ldots,1,n\rangle$ $(n>2)$, определяемое тождествами
$$w(\varphi_{1}(x),\ldots,\varphi_{n}(x))=x,\ \varphi_{i}(w(x_{1},\ldots,x_{n})=x_{i}\ (i=1,\ldots,n)$$
Пусть $\mathbf{F}_{r}$ — свободная алгебра в этом многообразии, обладающая конечным свободным базисом из $r$ элементов $(r\geqslant 1)$. Известно (см. РЖМат, 1962, ЗА72, 4А273), что
$$\mathbf{F}_{r}\cong\mathbf{F}_{s}\Longleftrightarrow r\equiv s\pmod{(n-1)}$$
Таким образом, длины свободных базисов в алгебре $\mathbf{F}_{r}$ $(1\leqslant r\leqslant n-1)$ составляют арифметическую прогрессию $r,r+(n-1),r+2(n-1),\ldots$. В работе описаны все свободные базисы алгебры $\mathbf{F}_{r}$ и указаны порождающие элементы группы $\mathrm{Aut}\,(\mathbf{F}_{r})$.

УДК 519.44

М. В. Хорошевский

О совершенных группах нечётного порядка, 63—76.

Строится серия групп, указанных в заглавии. Доказывается также невозможность субнормального вложения произвольной конечной $\pi$-группы в совершенную конечную $\pi$-группу, где множество $\pi$ содержит не менее двух простых чисел.

УДК 519.41/47

М. В. Цыбанёв

Об абелевом нормальном делителе группы, все подгруппы которого $m$-дополняемы в ней, 77—87.

При решении поставленного С. Н. Черниковым вопроса о строении $m$-факторизуемых групп (РЖМат, 1972, 4А221) оказалось важным знание структуры абелева нормального делителя $A$ группы $G$, обладающего тем свойством, что все его подгруппы $m$-дополняемы в $G$. В статье получено необходимое и достаточное условие, при котором $A$ обладает таким свойством.

УДК 519.48

И. П. Шестаков

Обобщенно-стандартные кольца, 88—103.

Доказывается, что в определении обобщенно-стандартного кольца, данном Шафером [Generalized standard algebras, J. Algebra, 12 (1969), 386-417], два тождества являются лишними. Попутно находится новая, более простая система определяющих соотношений для класса обобщенно-достижимых колец и доказывается, что всякое некоммутативное йорданово обобщенно-достижимое кольцо является обобщенно-стандартным.

Построены ненулевые функции со значениями в ассоциативном и ассоциативно-коммутативном центрах свободного обобщенно-стандартного кольца.

Доказывается, что всякое обобщенно-стандартное кольцо, порожденное двумя элементами, является стандартным.

УДК 519.48

А. В. Ягжев

Решеточная определяемость некоторых матричных алгебр, 104—116.

Пусть $D$ — (ассоциативная) алгебра с делением над полем $k$, содержащим по крайней мере три элемента, $n$ — натуральное число, $n\geqslant 3$, $A=D_{n}$ — алгебра матриц над $D$ и $B$ — алгебра, решеточно-изоморфная алгебре $\tilde{D_{n}}$. Тогда $B$ изоморфна или антиизоморфна матричной алгебре $\tilde{D_{n}}$ над некоторым телом $\tilde{D}$, причем между телами $D$ и $\tilde{D}$ существует $k$-полулинейное соответствие. Это обобщает теорему Барнеса, в которой тело $D$ предполагалось конечномерным (РЖМат, 1968, 2А179).