УДК 519.45

О. В. Белеградек

Об алгебраически замкнутых группах, 239—255.

Теорема. Если $H_1, H_2$ — нетривиальные конечно-порожденные рекурсивно определенные группы, то $H_1$ вложима в любую алгебраически замкнутую группу, в которую вложима $H_2$, если и только если $d_{Q}(H_1)\leqslant d_{Q}(H_2)$.

Так как существует конечно-порожденная рекурсивно-определенная группа $H$ такая, что $d_{Q}(H\ast Z)\nleqslant d_{Q}(H)$, то из этой теоремы следует отрицательный ответ на один вопрос А. Макинтайра. Изучается связь $Q$-сводимости и $T$-сводимости для проблем тождества слов. Доказывается, что классы $\Delta_1$-генерических и $\Delta_2$-генерических групп совпадают, если и только если $d_{Q}(\Delta_1)= d_{Q}(\Delta_2)$.

УДК 519.4

В. М. Бусаркин, Б. К. Дураков

Конечные простые группы с циклическими централизаторами элементов нечетного порядка, 256—264.

Пусть $G$ — конечная простая группа, содержащая циклическую подгруппу $M$ нечетного порядка $3m$ такую, что $C(g)=C(M)$ для любого $1\neq g\in M$, а $|N(M):M|=2^s\leqslant 4$. Доказывается, что если в $G$ все инволюции сопряжены, то $G\simeq PSL(2,q)$ при подходящем $q$.

УДК 519.48

B. C. Дренски

О тождествах в алгебрах Ли, 265—290.

Теорема 1. Пусть $K$ — произвольное поле положительной характеристики $p$. Существует многообразие алгебр Ли над полем $K$, которое удовлетворяет тождествам
\begin{gather*} ((x_1,x_2)(x_3,x_4))((x_5,x_6)(x_7,x_8))=0,\\ ((\ldots(((x_1,x_2)(x_3,x_4))(x_5,x_6))\ldots)(x_{2p-1},x_{2p}))x_{2p+1}=0 \end{gather*} и не является конечно-базируемым.

Теорема 2. Над каждым бесконечным полем $K$ положительной характеристики $p$ существует алгебра Ли размерности $2p+3$ над $K$, тождества которой не эквивалентны конечной системе тождеств.

Метод доказательств этих теорем дает возможность получить соответствующие результаты и для коммутативных неассоциативных алгебр.

УДК 519.46

М. И. Кабенюк

Конечные группы автоморфизмов топологических групп, 291—299.

Доказывается, что конечная группа $K$ тогда и только тогда является группой всех автоморфизмов некоторой абелевой топологической группы, когда $K$ есть группа всех обратимых элементов некоторого кольца.

УДК 519.04

Ю. В. Кузьмин

Аппроксимация метабелевых групп, 300—310.

Даются необходимые и достаточные условия аппроксимируемости конечно-порожденной метабелевой группы нильпотентными группами, нильпотентными группами без кручения и конечными $p$-группами. Одно из этих условий формулируется на языке модуля над групповым кольцом, другие — на языке однозначности решения некоторых уравнений.

УДК 517.15

А. Т. Нуртазин

Сильные и слабые конструктивизации и вычислимые семейства, 311—323.

Вводится понятие вычислимого семейства конструктивных моделей и сильно вычислимого семейства. Изучаются конструктивизации сильно конструктивизируемой модели. Найдены необходимые и достаточные условия неавтоустойчивости данной модели относительно сильных конструктивизаций и существования слабых. Показано, что если модель $\mathfrak{A}$ не автоустойчива относительно сильных конструктивизаций, то имеется бесконечное сильно вычислимое семейство конструктивизаций модели $\mathfrak{A}$, а семейство всех сильных конструктивизаций $\mathfrak{A}$ не сильно вычислимо. Определяется возможное число сильных и слабых конструктивизаций модели $\mathfrak{A}$.

УДК 519.45

И. И. Павлюк, А. А. Шафиро, В. П. Шунков

О локально конечных группах с условием примарной минимальности для подгрупп, 324—336.

Говорят, что группа $G$ удовлетворяет условию примарной минимальности, если для любого $p\in\pi(G)$ она удовлетворяет условию $p$-минимальности. Доказывается теорема, по существу завершающая теорию групп, указанных в заглавии: всякая локально конечная группа, удовлетворяющая условию примарной минимальности для (локально разрешимых) подгрупп, почти локально разрешима.

УДК 519.48

Ю. П. Размыслов

О радикале Джекобсона в $PI$-алгебрах, 337—360.

Доказывается, что если алгебра имеет конечное число порождающих и в ней выполняются все тождества полной матричной алгебры некоторого порядка, то ее радикал Джекобсона нильпотентен. В цепочке идеалов $\mathfrak{M}_{0}\supset\mathfrak{M}_{1}\supset\mathfrak{M}_{2}\supset\ldots$, где $\mathfrak{M}_{k}$ — идеал тождеств полной матричной алгебры порядка $k$ над полем характеристики нуль, каждый фактор $\mathfrak{M}_{i}/\mathfrak{M}_{i+1}$ является алгебраической алгеброй ограниченной степени над своим центром. В случае поля характеристики нуль доказывается, что $PI$-алгебра с конечным числом порождающих имеет нильпотентный радикал Джекобсона тогда и только тогда, когда в ней выполниются тождества Капелли некоторого порядка.