УДК 519.49

М. М. Еримбетов

О полных теориях с 1-кардинальными формулами, 245—257.

Теорема. Пусть $T$ — полная счетная теория, имеющая бесконечную модель, $\Phi_o(\nu_0)$ и $\Phi_1(\nu_0)$ — формулы языка теории $T$ и для любой модели $\mathfrak{A}$ теории $T$ выполняется неравенство $|\Phi_o(\mathfrak{A}|\leqslant|\Phi_1(\mathfrak{A})|$. Тогда:
а) если $R(\Phi_1(\nu_0))<\infty$, то $R(\Phi_0(\nu_0))<\infty$.
б) если $R(\Phi_1(\nu_0))<\omega$, то $R(\Phi_0(\nu_0))<\omega$,
в) если $R(\Phi_1(\nu_0))=\beta\geqslant\omega$, то $R(\Phi_0(\nu_0))=\beta^{\omega}$,
где $R(\Phi(\nu_0))$ — ранг Морли формулы $\Phi(\nu_0)$.

УДК 517.11

Ю. Л. Ершов

Верхняя полурешетка нумераций конечного множества, 258—284.

Пусть $k\geqslant 2$ и $L_k$ — верхняя полурешетка классов эквивалентных нумераций множества $\{0,1,\ldots, k-1\}$. Основная задача статьи — дать алгебраическую характеризацию этой верхней полурешетки. Оказывается, что $L_k$ обладает высокой степенью универсальности (инъективности) в классе дистрибутивных верхних полурешеток. Из основной теоремы вытекает, в частности, что в предположении континуум-гипотезы верхние полурешетки $L_{k_0}$ и $L_{k_1}$ с различными $k_0,k_1\geqslant 2$ изоморфны между собой, что дает (условный) ответ на проблему 1 из книги автора "Теория нумерадий. 1" (Новосибирск, НГУ, 1969).

УДК 517. 11

Е. А. Палютин

Дополнение к статье Ю. Л. Ершова "Верхняя полурешетка нумераций конечного множества", 284—287.

В статье, упомянутой в названии, Ю. Л. Ершов при континуум-гипотезе доказал, что верхние полурешетки нумераций конечных множеств, содержащих более одного элемента, изоморфны между собой. В данной заметке устраняется континуум-гипотеза из доказательства этого утверждения.

УДК 519.44

А. С. Кондратьев

Конечные простые группы, силовская 2-подгруппа которых есть расширение абелевой группы посредством группы ранга 1, 288—303.

Теорема. Если силовская 2-подгруппа $T$ конечной простой группы является расширением абелевой группы с помощью циклической группы или (обобщенной) группы кватернионов, то $T$ содержит абелеву подгруппу индекса 2.

Из этой теоремы в силу известных классификационных результатов получается

Следствие. Если силовская 2-подгруппа конечной простой группы $G$ является расширением абелевой группы с помощью циклической группы или (обобщенной) группы кватернионов, то $G$ изоморфна одной из следующих групп: $L_{2}(q)$, $q>3$, $A_7$, $M_{11}$, $L_{3}(q)$, $U_{3}(q)$, $q$ нечетно, группа типа Янко-Ри.

УДК 517.11

Л. Л. Максимова

Модальные логики конечных слоев, 304—319.

Предлагается классификация модальных логик и многообразий топологических булевых алгебр (ТБА) С помощью так называемых слоев. Доказано, что многообразия конечных слоев и только они являются локально конечными. Получена также характеризация многообраэий конечных слоев с помощью ТБА, порожденных своими открытыми элементами.

УДК 519.49

М. Ю. Трофимов

Об определимости в алгебраически замкнутых системах, 320—327.

Доказывается, что в классах, удовлетворяющих некоторому простому условию ($ff$-классах), элементарно определимы свойства, выразимые в слабой логике порядка $\omega$. Этот результат используется для упрощения ранее известных доказательств многочисленных результатов об определимости в алгебраически замкнутых группах и полугруппах.

УДК 519.48

В. К. Харченко

Неподвижные элементы относительно конечной группы, действующей на полупервичном кольце, 328—344.

Доказывается, что для всякой конечной группы автоморфизмов полупервичного кольца существует ненулевой элемент, неподвижный относительно действия этой группы. Приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы подкольцо неподвижных элементов полупервичного кольца относительно конечной группы автоморфизмов было а) полупервичным, б) первичным.

УДК 519.50

С. А. Чихачёв

О генерических моделях, 345—353.

Полная теория $T$ тогда и только тогда является форсинг-полной, когда для любых $n=1,2,\ldots$ и совместной с $T$ формулы $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ найдется совместная с $T$ $\exists$-формула $\tau(x_1,\ldots,x_n)$ такая, что формула $(\forall x_1,\ldots,x_n)(\tau(x_1,\ldots,x_n)\rightarrow\varphi(x_1,\ldots,x_n))$ принадлежит $T$. Если $T$ — полная и форсинг-полная теория мощности $\aleph_1$, а булева алгебра классов формул с $n$ свободными переменными, эквивалентных относительно $T$, является атомной для $n=1,2,\ldots$, то $T$ имеет генерическую модель. Приведен также пример полной и форсинг-полной теории, не имеющей генерических моделей.

УДК 519.48

И. П. Шестаков

Радикалы и нильпотентные элементы свободных альтернативных алгебр, 354—365.

Изучаются свойства радикалов и нильпотентных элементов свободных альтернативных алгебр. Рассматривается "элемент Клейнфелда" $k=([x,y]^2,r,s)$ в свободной альтернативной $\Phi$-алгебре $\mathfrak{A}$ более чем от трех порождающих. Доказывается, что $k^{2}=k{\mathfrak{A}}k=0$ откуда следует, что если $3\Phi\neq 0$, то в $\mathfrak{A}$ есть нильпотентные идеалы. Показывается, что квазирегулярный радикал $\mathfrak{J}(\mathfrak{A})$ свободной альтернативной алгебры $\mathfrak{A}$ над произвольной областью целостности $\Phi$ совпадает с совокупностью всех нильпотентных элементов алгебры $\mathfrak{A}$. Получено и некоторое описание фактор-алгебры: алгебра $\mathfrak{A}/\mathfrak{J}(\mathfrak{A})$ изоморфна подпрямой сумме свободной ассоциативной алгебры и "свободного" кольца Кэли-Диксона. В основе доказательства лежит следующая характеризация радикала $\mathfrak{J}(\mathfrak{A})$, имеющая самостоятельный интерес: $\mathfrak{J}(\mathfrak{A})=T(C)\cap D(\mathfrak{A})$, где $T(C)$ — идеал тождеств расщепляемой алгебры Кэли-Диксона над $\Phi$, а $D(\mathfrak{A})$ — ассоциаторный идеал алгебры $\mathfrak{A}$.