УДК 519.44

Р. Ж. Алеев

О сопряженности инволюций в конечных группах с разложимыми силовскими 2-подгруппами, 491—522.

Исследуется сопряженность инволюций в конечных группах, силовские 2-подгруппы которых разложимы в прямое произведение диэдральных, полудиэдральных и абелевых подгрупп.

УДК 517.11:518.5

С. Д. Денисов

Двухэлементное отделимое нумерованное множество $\mathfrak{S}$ с неразрешимой проблемой $P(\mathfrak{S},\mathfrak{S})$, 523—532.

В заметке строится рекурсивно пере числимое множество $A\subset N$, $a\neq N$, такое, что в классе $\{B/\overline{\overline{A}\times\overline{B}}\leqslant_{m}A\}$ нет элемента, наибольшего относительно $m$-сводимости (теорема 1). Как следствие получается теорема 2: существует вычислимая нумерация $\mu$ семейства $\{\varnothing,\{0\}\}=S$ такая, что для нумерованного множества $f=\langle S,u\rangle$ неразрешима проблема $Р(f)$.

УДК 51.01:518.5

Г. Т. Козлов, А. И. Кокорин

Доказательство леммы о модельной полноте, 533—535.

Пусть любые две модели $G$ и $G^{\prime}$ класса $K$ абелевых групп без кручения сигнатуры $\tau=\langle+,H(x),D_{p}(x),\overline{D}_{p^{k}}(x)\rangle$, удовлетворяют условиям: (а) $X_{+}(G)=X_{+}(G^{\prime})$, (б) $X_{+}(H)=X_{+}(H^{\prime})$, (в) $X_{+}(G/_{p}H)=X_{+}(G^{\prime}/_{p}H^{\prime})$ для всех простых чисел $p$. Тогда класс $K$ модельно полон. Здесь $H(x)$ — предикат, выделяющий подгруппу $H$, $D_{p}(x)$ (соотв. $\overline{D}_{p^{k}}(x)$) — предикат, выделяющий элементы, делящиеся на $p$ в $G$ (соотв. делящиеся на $p^{k}$ в фактор-группе $G/H$), $X_{+}(G)$ — набор шмелёвских характеристик группы $G$.

УДК 517.11

В. И. Мартьянов

О теории абелевых групп с предикатами, выделяюшими подгруппы, и операциями эндоморфизмов, 536—542.

Рассматривается теория абелевых групп в сигнатуре $\sigma_{mn}=\langle+,\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m},H_{1}(x),\ldots,H_{n}\rangle$, где $\alpha_{i}$ — эндоморфизмы группы, $H_{i}(x)$ — предикаты, истинные на элементах подгрупп $H_{i}$. Доказано, что абелевы группы элементарно эквивалентны в сигнатуре $\sigma_{mn}$, если совпадают их $\exists\forall$-теории. Установлена также относительно элементарная определимость теории абелевых групп простого периода сигнатуры $\sigma_{0n}$ в теории абелевых групп сигнатуры $\sigma_{01}$.

УДК 519.48

С. В. Пчелинцев

Нильпотентность ассоциаторного идеала свободного конечно-порожденного (-1,1)-кольца, 543—571.

Показано, что во всяком конечно-порожденном (-1,1)-кольце ассоциаторный идеал нильпотентен. Этот факт позволяет доказать нильпотентность разрешимых подколец любого конечно-порожденного (-1,1)-кольца. Кроме того, установлено, что если в центре конечно-порожденного (-1,1)-кольца нет тривиальных идеалов всего кольца, то оно ассоциативно. Получены также некоторые результаты о свободных (-1,1)-кольцах. В частности, указана серия ядерных функций, среди которых имеется, например, $[x,y]^{4}$.

УДК 517.11

A. М. Слободской, Э. И. Фридман

О теориях абелевых групп с предикатами, выделяющими подгруппы, 572—575.

Пусть $K$ — класс абелевых групп, рассматриваемых в сигнатуре $\sigma_{05}$ (см. выше реферат статьи В. И. Мартьянова). Доказывается, что теория, ${\rm Th}\,(K,\sigma_{05})$ класса $K$ наследственно неразрешима. Отсюда и из упомянутой работы В. И. Мартьянова выводится наследственная не разрешимость теории абелевых групп в сигнатуре $\sigma_{01}$.

УДК 519.45

В. П. Шунков

Об одном признаке непростоты групп, 576—603.

Пусть $G$ — группа, $H$ — её собственная подгруппа, $a$ — элемент простого порядка $p\neq 2$ из $H$, удовлетворяющие следующему условию: для всякого $g\in G\setminus H$ $\text{гр}\,(a,g^{-1}ag)$ — группа Фробениуса с неинвариантным множителем $(a)$. Доказывается, что 1) $H=T\leftthreetimes N_{G}((a))$ и $K=T\leftthreetimes (a)$ — либо группа Фробениуса с неинвариантным множителем $(a)$ и ядром $T$, либо $K=(a)$; 2) $F_{a}=T\cup\mathfrak{M}$ — подгруппа в $G$ и $G=F_{a}\leftthreetimes N_{G}((a))$, где $\mathfrak{M}$ — множество всех $p$-вещественных элементов из $G\setminus H$ относительно $a$, 3) $E=T\setminus L$ — инвариантное множество в $G$, где $L$ — множество всех таких элементов из $T$, каждый из которых $p$-веществен относительно некоторого элемента из $B=\bigcup\limits_{x\in G}[(a^{x})\setminus\{1\}]$.