УДК 519.48

А. Т. Гайнов

Подалгебры невырожденных коммутативных $KM$-алгебр, 371—383.

Пусть $\mathfrak{M}$ — класс всех алгебр, являющихся подалгебрами всевозможных невырожденных коммутативных $KM$-алгебр над полем $\Phi$ характеристики $\neq 2$. Доказывается, что в классе $\mathfrak{M}$ выполняется некоторая бесконечная система квазитождеств. Указан алгоритм для получения этих квазитождеств. Конечномерная алгебра $A$ тогда и только тогда принадлежит классу $\mathfrak{M}$, когда существует такая алгебра $B$, что $B^{+}=A$ и $x\cdot x^{2}=0$ для всех $x$ из $B$. Всякая алгебра из класса $\mathfrak{M}$ размерности $\leqslant 3$ является разрешимой. Алгебра $А$ называется моноразрешимой, если для всякого $x$ из $A$ существует такое $n$, что $a^{[n]}=0$, где $a^{[1]}=a$, $a^{[m+1]}=a^{[m]}\cdot a^{[m]}$. Построен пример 5-мерной алгебры $A_{0}$ класса $\mathfrak{M}$, которая не является моноразрешимой. Затем эта алгебра $A_{0}$ вложена в 10-мерную невырожденную коммутативную $KM$-алгебру, которая, естественно, также не будет монеразрешимой.

УДК 519.48

В. Н. Герасимов

Дистрибутивные решетки подпространств и проблема равенства для алгебр с одним соотношением, 384—435.

Пусть $F$ — свободная ассоциативная алгебра над полем $k$. Обозначим через $F^{m}$ подпространство, натянутое на все одночлены степени $m\geqslant 0$.

Основная теорема. Пусть $f$ — однородный элемент алгебры $F$. Тогда множество подпространств $\{F^{n}fF^{m}\mid m,n\geqslant 0\}$ порождает дистрибутивную решетку подпространств пространства $F$.

Основная теорема используется для изучения алгебр с одним соотношением $f=0$, где многочлен $f\in F$ удовлетворяет условию
$$f_{d}F_{d}\cap F_{d}f_{d}=(fF\cap Ff)_{d}.$$ Здесь $f_{d}$ — старшая однородная часть элемента $f\in F$, $H_{d}=\{h_{d}\mid h\in H\}$. В частности, в алгебрах с одним соотношением, удовлетворяющим этому условию, разрешима проблема равенства.

УДК 518.48

В. А. Горбунов

О решетках квазимногообразий, 436—457.

Продолжено изучение класса $Q$ всех решеток квазимногообразий (РЖМат, 1875, 12А308). Показано, что произвольная $Q$-решетка удовлетворяет квазитождеству $x\vee y=x\vee z\rightarrow x\vee y=x\vee(y\wedge z)$, но не обязательно двойственному квазитождеству $x\wedge y=x\wedge z\rightarrow x\wedge y=x\wedge(y\vee z)$. Конечная $Q$-решетка $L$ удовлетворяет обоим квазитождествам тогда и только тогда, когда в $L$ изоморфно не вложима некоторая 7-элементная решетка. Построен пример конечной решетки квазимногообразий групп, не удовлетворяющей второму квазитождеству. Найден критерий дистрибутивности для $Q$-решеток в случае локально-конечных квазимногообразий конечной сигнатуры. Доказана немодулярность решетки квазимногообразий модулярных решеток. Построен класс полных решеток с псевдодополнениями, неизоморфных никакой решетке квазимногообразий алгебр.

УДК 518.45

А. В. Горяга

О порождающих элементах группы автоморфизмов свободной нильпотентной группы, 458—463.

Указывается $n$ элементов, порождающих группу автоморфизмов свободной нилппотентной группы ступени $n\geqslant 2$ и ранга $m\geqslant 3\cdot 2^{n-2}+n$.

УДК 519.45

Н. А. Ерзакова, В. А. Чуркин

К теории разрешимых групп без кручения, 464—469.

Построен пример 2-порожденной 4-ступенно разрешимой группы без кручения, подгруппа Фраттини которой ненильпотентна.

УДК 517. 11:518.5

В. Л. Селиванов

Две теоремы о вычислимых нумерациях, 470—484.

Теорема 1. Если полурешетка вычислимых нумераций данного семейства рекурсивно-перечислимых множеств нетривиальна, то она не является решеткой.

Теорема 2. Существует вычислимое недискретное семейство рекурсивно-перечислимых множеств, все вычислимые нумерации которого эквивалентны.