УДК 512. 552

М. И. Бадалов

О многообразиях ассоциативных алгебр, 391—397.

Элемент $f$ свободной ассоциативной алгебры $F[x]$ ($F$ — поле характеристики $O$) называется $h$-многочленом, если порожденный им вполне характеристический идеал $T(f)$ содержит полилинейный многочлен $f_1$, являющийся произведением правонормированных коммутаторов. Полилинейный многочлен вида $x_0 \cdot f$ где $f$ — $h$-многочлен, называется $g$-многочленом. Показано, что некоторые многочлены специального вида, например, стандартный многочлен $S_3$, йорданово и лиево произведение $g$-многочленов (и ряд других) являются $h$-многочленами, в то время как многочлены $S_n$ при $n\geqslant 4$ и $[[x_1,x_2][x_3,x_4],x_5]$, не являются таковыми. Отсюда делается вывод о шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр.

УДК 517. 15

Н. В. Белякин

Автономная вычислимость, 398—407.

Вводится понятие автономной иерархии, обобщающее ранее введенное автором понятие. Показывается, что в классе таких иерархий существует максимальная. Совокупность максимальных автономных иерархий, релятивизованых к всевозможным объектам типа 1 и 2, определяет некоторую схему обобщенной вычислимости. Класс объектов, вычислимых в этой схеме, оказывается замкнутым относительно суперджамп-оператора.

УДК 519. 4

Ю. Л. Ершов

Об алгебраически компактных группах. II, 408—414.

Предложен новый элементарный подход к описанию алгебраически компактных абелевых групп, основанный на использовании следующего результата (следствие из предложения 2): если $A$ — сервантная подгруппа $B$, то существует такое расширение $C$ группы $B$, что $A$ сервантна в $C$ и $C/A$ — полная группа.

УДК 518. 5

Г. Н. Кобзев

О $tt$-степенях рекурсивно-перечислимых тьюринговых степеней. II, 415—425.

Для всякого рекурсивно-перечислимого (р. п.) множества $A$ полной тьюринговой степени указывается р. п. множество $B,\,B\leqslant_{tt} A$, имеющее репрессируемое сильно равномерно гипериммунное дополнение. Табличная степень является минимальным элементом полурешетки р. п. $tt$-степеней, если и только если она содержит р. п. полурекурсивное множество минимальной $m$-степени. Для всякой р. п. тьюринговой степени $a\neq 0$ строится тьюримгова степень $b,\,0< b\leqslant a$, не содержащая $\eta $-максимальных полурекурсивных множеств.

УДК 512. 545. 4

В. М. Копытов

Свободные решеточно упорядоченные группы, 426—441.

Пусть $\mathfrak{X}_l$ — многообразие решеточно упорядоченных групп ($l$-групп) в сигнатуре $\langle\cdot,^{-1},l,\vee,\wedge\rangle$, $\mathfrak{K}(\mathfrak{X}_l)$ — класс всех групп, вложимых в $l$, группы из $\mathfrak{X}_l$. Тогда $\mathfrak{K}(\mathfrak{X}_l)$ является квазимногообразием групп. Пусть $F$ — свободная в $\mathfrak{X}_l$ $l$-группа со свободными порождающими $x_1,\ldots,x_n,\ldots$. Тогда подгруппа $F_0$ в $F$, порожденная элементами $x_1,\ldots,x_n,\ldots$, является свободной группой в квазимногообразии $\mathfrak{K}(\mathfrak{X}_l)$ и $x_1,\ldots,x_n,\ldots $ — ее свободная база. Указано представление свободной в $\mathfrak{X}_l$ $l$-группы в декартовом произведении $l$-групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств правых смежных классов всевозможных правоупорядоченных групп, построенных на $F_0$, по подходящим выпуклым подгруппам. Доказано, что на свободной группе $F_0$ счетного ранга существует правый порядок $\leqslant $ такой, что отображение $x_i \rightarrow R(x_i)$, где $R(x_i)(y)=yx_i,\,x_i,y\in F_0$, продолжается до $l$-изоморфизма свободной в многообразии всех $l$-групп $l$-группы $F$ в $l$-группу порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества $\langle F_0,\leqslant\rangle$.

УДК 519.44

Н. Д. Подуфалов

3-характеризации конечных групп, 442—462.

Дан краткий обзор состояния исследований по 3-характеризациям конечных групп и доказаны следующие результаты.

Теорема 1. Пусть конечная группа $G$ содержит сильно 3-вложенную подгруппу $H,Q\in S y L_2(H)$. Если $3\in\pi (C(Q))$, то имеет место одно из следующих утверждений: а) силовская 3-подгруппа в $G$ циклическая и $G$ 3'-замкнута; б) фактор-группа $G/O_{3^\prime}(G)$ содержит нормальную подгруппу $L$ индекса, взаимно-простого с 6, где $L$ — группа типа Ри, либо $L\cong L_2(3^{2n+1}),\,n\geqslant1$; в) $G/O_{3^\prime}(G)\cong Aut\,(L_2(8))$.

Следствие 1. Если $G$ — простая группа с сильно 3-вложенной подгруппой $H$, то $3\notin \pi(Z(H))$.

Следствие 2. Если $G$ — простая группа с сильно 3-вложенной подгруппой $H$ и порядок силовской 2-подгруппы из $H$ не превосходит 2, то $G$ — либо группа типа Ри, либо изоморфна $L_2(q),U_3(2^n)$ или $L_3(2^n)$

УДК 517. 11: 518. 5

В. Л. Селиванов

О структуре степеней неразрешимости индексных множеств, 463—480.

Изучается строение частично упорядоченного множества $(J_m,\leqslant_m)$ $m$-степеней индексных множеств. Основной результат: для любых $a_0,a_1,\ldots,a_n\in J_m$ найдутся такие элементы $b_0, b_1,b_2, b_3\in J_m$, что 1) $a_k\leqslant_m b_l$ для любых $k\leqslant n,\, l\leqslant 3$; 2) если $c\in J_m$ и $a_k\leqslant_m c$ для всякого $l\leqslant3$, то $c\leqslant_m a_k$ для некоторого $k\leqslant n$.

УДК 519.45

Н. М. Сучков

Автоморфно факториэуемые группы, 481—487.

Пусть $G$ — $\pi$-группа, $A$ — конечная $\pi^\prime$-подгруппа иэ $A a G$ и каждый элемент группы $G$ содержится в конечной $A$-допустимой подгруппе. В группе $G$ тогда и только тогда любая $A$-допустимая подгруппа имеет $A$-допустимое дополнение, когда $G=F\lambda S$, $F,S$ — абелевы $A$-допустимые подгруппы, разлагающиеся в прямое произведение минимальных $A$-допустимых подгрупп, причем $F$ разлагается в прямое произведение инвариантных в $G$ минимальных $A$-допустимых подгрупп.

УДК 519.48

В. И. Туманов

Решетки эквациональных теорий моделей, 488—504.

Для любого натурального $n$. обозначим через $\sigma_n$ множество всех $n$-арных символов из сигнатуры $\sigma$.

Основная теорема. Если сигнатуры $\sigma$ и $\sigma^\prime$ содержат только предикатные символы, то а) решетки $L(\sigma)$ и $L(\sigma^\prime)$ эквациональных теорий данных сигнатур $L(\sigma), L(\sigma^\prime)$ изоморфны тогда и только тогда, когда для всех $n$ множества $\sigma_n$ и $\sigma^\prime_n$ равномощны б) решетки $L(\sigma)$ и $L(\sigma^\prime)$ элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда для всех $n$ множества $\sigma$ и $\sigma^\prime_n$ либо оба бесконечны, либо оба конечны и равномощны. Для доказательства этой теоремы введено понятие экстремального произведения решеток и дано представление решетки $L(\sigma)$ для предикатной сигнатуры $\sigma$ в терминах этого произведения. Найден базис тождеств решетки $L(\sigma)$ для произвольной предикатной сигнатуры $\sigma$