УДК 519.45

Р. Дж. Бернс, А. М. Бруннер

Два замечания о групповом свойстве Хаусона, 513—522.

Говорят, что группа обладает свойством Хаусона, если пересечения любых двух ее конечно-порожденных подгрупп — снова конечно-порожденная подгруппа. Доказывается, что никакое расширение свободной группы конечного ранга $\geqslant 2$ посредством бесконечной циклической группы не обладает свойством Хаусона (теорема 1). Группа с одним определяющим соотношением гр $(x,F||x^{-1} ux=\vartheta),$ где $F$ — свободная группа, $u,\vartheta\in F\ \{1\}$ и из $u$ нельзя извлечь в $F$ корня степени $\geqslant2$, обладает свойством Хаусона (теорема 2).

УДК 512. 55+512. 81

Ф. С. Кердман

Аналитические лупы Муфанг в целом, 523—555.

Основным результатом работы является построение односвязной аналитической лупы Муфанг в целом с произвольной заданной касательной алгеброй Мальцева над полем вещественных чисел. Если касательная алгебра разрешима, то пространство соответствующей лупы аналитически изоморфно евклидову пространству $R^n$, и справедлив аналог теоремы Шрайера о продолжении локальных гомоморфизмов, откуда следует классификация связных аналитических луп Муфанг, локально изоморфных данной. Вопрос о справедливости теоремы Шрайера для произвольных аналитических луп Муфанг остается открытым.

УДК 517.11: 512. 57

Л. Л. Максимова

Интерполяционные теоремы в модальных логиках и амальгамируемые многообразия топобулевых алгебр, 556—586.

Рассматриваются нормальные модальные логики, содержащие логику $S4$ Доказано, что интерполяционная теорема Крейга в такой логике эквивалентна сверхамальгамируемости соответствующего многообразия топобулевых алгебр, а свойство амальгамируемости многообразия эквивалентно ослабленному варианту теоремы Крейга — интерполяционной теореме для необходимых высказываний. Существует амальгамируемое, но не сверхамальгамируемое многообразие топобулевых алгебр. Показано, что существует лишь 37 непротиворечивых расширений логики, для которых возможна теорема Крейга, и лишь 49 логик, для которых возможен ослабленный вариант интерполяционной теоремы.

УДК 519. 48

В. Т. Марков

О системах образующих $Т$-идеалов конечно-порожденных свободных алгебр, 587—598.

Пусть $\mathfrak{M},\mathfrak{M}^\prime$ — два многообразия ассоциативных алгебр над бесконечным полем $F$, причем $\mathfrak{M}\subseteq \mathfrak{M}^\prime$, Установлено некоторое достаточное условие того, что идеал тождеств многообразия $\mathfrak{M}$, от конечного числа переменных неимеет конечной системы образующих как двусторонний идеал по модулю идеала тождеств многообразия $\mathfrak{M}^\prime$. В качестве следствия показано, что идеал тождеств алгебры матриц порядка $n$ над полем $F$ от $к\geqslant 2$ переменных не имеет конечной системы образующих по модулю идеала тождеств алгебры матриц порядка $n+1$ при $n\geqslant 2$. Доказано также, что идеал тождеств многообразия $\mathfrak{M}$, порожденного алгебрами с $1$, от $k\geqslant 2$ переменных, имеет конечную систему образующих тогда и только тогда, когда алгебры многообразия $\mathfrak{M}$ удовлетворяют некоторому тождеству Энгеля.

УДК 519. 48

В. Т. Филиппов

О нильпотентных идеалах в алгебрах Мальцева, 599—613.

Пусть $\Phi$ — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, содержащее $\frac{1}{6},A$ свободная $\Phi$-алгебра Мальцева от $n\geqslant 5$ образующих. Построены ненулевые нильпотентные идеалы алгебры $A$. В частности, доказано, что алгебра $А$ не является полупервичной. Пусть $Var A$ — многообразие, порожденное алгеброй $A, Var\, A ^2$ — многообразие, порожденное подалгеброй $A^2$ алгебры $A$. Доказано, что $Var A\neq Var\, A^2$. Кроме того, доказано, что многообразия, порожденные свободными алгебрами Мальцева соответственно с четырьмя и пятью образующими, различны.

УДК 517. 11: 518. 6

Ю. Е. Шишмарёв

Категоричные квазимногообраэия квазигрупп, 614—629.

Изучаются категоричные квазимногообразия некоторых группоидов и квазигрупп. Доказывается, что группоид с единицей порождает категоричное квазимногообразие в том и только том случае, когда он является абелевой $p$-группой. Всякая категоричная квазигруппа изотопна абелевой группе. Строится пример, показывающий, что обращение этого утверждения неверно. Доказывается, что всякая конечная квазигруппа категорична в том и только том случае, когда она термально эквивалентна некоторому модулю, который является прямой степенью точного неприводимого модуля.