УДК 519. 48

A. Т. Гайнов

Ортогональные суммы невырожденных алгебр с единицей, 637—647.

Пусть $\mathfrak{A}=\Phi 1\bigoplus A$ — алгебра с единицей $1$ над полем $\Phi$. Тогда на пространстве $A$ определена билинейная операция умножения $х$ и билинейная форма $f$. Алгебру $\mathfrak{A}$ назовем невырожденной слева (справа), если форма $f$ не вырождена слева (справа). Вводится понятие ортогональной суммы $\bot_{i\in I}\mathfrak{A}_i$ произвольного семейства алгебр $\mathfrak{A}_i$ с единицей.

Теорема 1. Ортогональная сумма $\mathfrak{A}=\bot_{i\in I}\mathfrak{A}_i$ невырожденных слева (справа) алгебр $\mathfrak{A}_i$ с единицей является простой справа (слева) алгеброй с единицей.

Теорема 2. Конечномерная коммутативная невырожденная моно-композиционная алгебра $\mathfrak{A}$ с единицей в том и только в том случае изоморфна некоторой вырожденной монокомпоэиционной алгебре, когда она содержит идеал размерности $dim\,\mathfrak{A}-1$.

Предложение 3. Пусть каждая алгебра $\mathfrak{A}_i,\,i\in I$, есть поле, являющееся алгебраическим сепарабельным расширением поля $\Phi$. Тогда алгебра $\mathfrak{A}=\bot_{i\in I}\mathfrak{A}_i$ не имеет дифференцирований, кроме нулевого.

УДК 519. 48

B. Н. Герасимов

Обращающие гомоморфизмы колец, 648—663.

Подмножество $S$ ассоциативного кольца $R$ с единицей называется потенциально обратимым, если элементы $S$ обратимы в некотором надкольце $R^\prime\supseteq R$. Кольцо $R$ называется обратимым, если множество $R^\ast =R\diagdown\{0\}$ потенциально обратимо. Приводится конструкция, с помощью которой могут быть получены все $S$-обращающие гомоморфизмы для произвольных $R$ и $S$. Найдена система квазитождеств, необходимая и достаточная для потенциальной обратимости. С помощью этих квазитождеств доказано, что всякое $2-FI$-кольцо обратимо.

УДК 517. 11: 518. 5

А. Н. Дёгтев

Несколько результатов о верхних полурешетках и $m$-степенях, 664—679.

Доказываются следующие утверждения: а) $\forall\exists$ — теория верхней полурешетки рекурсивно-перечислимых (р. п. ) $m$ -степеней разрешима; б) верхние полурешетки р. п. $bc$ - и $c$-степеней не являются дистрибутивными; в) элементарные теории верхних полурешеток р. п. $d$ и $tt$-степеней, а также р. п. $bd$- и $btt$-степеней различны; г) существует нерекурсивная $tt$-степень, не содержащая нераспадающихся $m$-степеней.

УДК 512. 565. 2

Ю. Л. Ершов

Дистрибутивные решетки с относительными дополнениями, 680—722.

Изложена теория расширений в категории $\vartheta_0$ дистрибутивных решеток с относительными дополнениями и нулем, дано применение этой теории к описанию свободных произведений в этой категории, приведена классификация счетных суператомных решеток из $\vartheta_0$, указана редукция проблемы изоморфизма для произвольных счетных решеток из $\vartheta_0$ к проблеме классификации аддитивных функций на свободной решетке из $\vartheta_0$ со счетным множеством свободных порождающих.

УДК 519. 48

Ю. А. Медведев

Тождества конечных йордановых $\Phi$-алгебр, 723—748.

Показано, что тождества конечных йордановых $\Phi$-алгебр обладают конечным базисом, а многообразие, порожденное конечной йордановой алгеброй кроссово, т. е. локально-конечно, задается конечным числом тождеств и содержит конечное число подмногообразий.