УДК 519.48

О. К. Бабков

Алгебраические расширения колец и кольца частных, 5—22.

Ассоциативное кольцо $\mathcal{R}$, не обязательно содержащее единицу, называется радикальным (корадикальным) расширением своего подкольца ${A}$, если для каждого $x\in\mathcal{R}$ найдется целое число $n(x)\geqslant1$ (полином $p_x(t)\in t {Z}[t]$) такое, что $x^{n(x)}\in{A}$ ($x-x^2p_x(x)\in{A}$).

Teоpeма 1. Пусть $\mathcal{R}$ — первичное кольцо без односторонних ниль-идеалов, не являющееся коммутативным. Если кольцо $\mathcal{R}$ радикально над своим подкольцом ${A}$, то их полные кольца частных совпадают.

Teоpeма 2. Пусть $\mathcal{R}$ — первичное кольцо, не являющееся коммутативным, ${A}$ — его подкольцо и $\mathcal{R}$ является корадикальным расширением кольца ${A}$. Тогда полные кольца частных колец $\mathcal{R}$ и ${A}$ совпадают.

Слeдствиe. Пусть $\mathcal{R}$ — первичное кольцо Голди, ${A}$ — его подкольцо и $\mathcal{R}$ является радикальным (корадикальным) расширением ${A}$. Тогда либо $\mathcal{R}$ коммутативно, либо $\mathcal{R}$ и ${A}$ являются порядками в одном и том жё простом артиновом кольце.

УДК 517.15

С. С. Гончаров

Автоустойчивость моделей и абелевых групп, 23—44.

Найдены критерии автоустойчивости для моделей с одноместными предикатами для абелевых групп бесконечного ранга, а для неавтоустойчивых моделей из этих классов доказана эффективная бесконечность класса их неавтоэквивалентных конструктивизаций.

УДК 517.15

С. С. Гончаров, В. Д. Дзгоев

Автоустойчивость моделей, 45—58.

Найден общий метод доказательства неавтоустойчивости, позволивший получить критерии автоустойчивости для дистрибутивных структур с относительными дополнениями и линейных порядков. Доказана неавтоустойчивость некоторых других структур. Для всех неавтоустойчивых структур из этих классов доказана эффективная бесконечность класса неавтоэквивалентных конструктивизаций.

УДК 519.4

В. А. Горбунов, В. И. Туманов

Об одном классе решеток квазимногообразий, 59—80.

Элемент $a$ полной решетки ${A}$ называется предельной точкой подмножества ${B}\subseteq{A}$, если $a={V}{C}$ и $a\notin{C}$ для некоторой цепи ${C}\subseteq{B}$ подмножество ${B}$ называется $p$-замкнутым, если ${B}$ содержит все свои предельные точки. Пусть ${S}_p{A}$ — решетка всех полных $p$-замкнутых подполурешеток (с единицей) в ${A}$, ${Q}$ класс всех решеток квазимногообразий.
Доказывается, что если ${A}$ — алгебраическая решетка, то ${S}_p{A}\subseteq{Q}$. Отсюда выводится, что a) булева решетка принадлежит классу ${A}$ тогда и только тогда, когда она изоморфна решетке всех подмножеств не более чем счетного множества; б) любая свободная решетка вложима в некоторую ${Q}$-решетку.

УДК 519.48

В. H. Желябин

Теорема об отщеплении радикала для альтернативных алгебр над кольцом Гензеля, 81—90.

Пусть $K$ — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Альтернативная алгебра $A$ называется неразветвленной над $K$, если ${J}({A})={J}({K}){A}$, где ${J}({A})$, — квазирегулярные радикалы алгебры ${A}$ и кольца ${K}$ cooтветственно. Доказана следующая

Teоpeма. Пусть ${A}$ — альтернативная алгебра с единицей над локальным кольцом Гензеля ${K}$, конечно-порожденная как ${K}$-модуль. Предположим. что $\frac{1}{2}\in{K}$ и алгебра ${A}\big / {J}({A})$ сепарабельна над полем ${K}\big / {J}({K}) $. Тогда в ${A}$ существует такая неразветвленная подалгебра ${A}_0$, что ${A}={A}_0+{J}({A})$.

УДК 519.44

А. А. Махнёв

Конечные группы с самонормализуюшейся подгруппой порядка 6, 91—102.

Основной результат — следующая теорема. Пусть $G$ — конечная группа с самонормализующейся циклической подгруппой порядка 6. Если элемент порядка 3 из этой подгруппы принадлежит коммутанту $G^{\prime}$, то $G$ — разрешимая группа 3-длины 1. В ходе доказательства выясняется строение конечной группы $G$ с $\textstyle\sum_{4}$-свободными централизаторами инволюций и условием $O(G)=1$.

УДК 519.45

А. К. Румянцев

О квазитождествах в свободной группе, 103—117.

Доказано, что система квазитождеств, истинных в свободной группе, имеет базис, состоящий из полутождеств, т. e. из квазитождеств вида $t({x}_1,\ldots,{x}_n)=1\longrightarrow \ {t}'({x}_1,\ldots,{x}_n)=1$, где ${t},{t}'$ — групповые слова.

УДК 519.45

E. И. Xyxpo

Нильпотентность разрешимых групп, допускающих расщепляющий автоморфизм простого порядка, 118—129.

Доказывается, что $k$-ступенно разрешимая группа, допускающая расщепляющий автоморфизм простого порядка $p$, нильпотентна ступени не выше $f(k,p)$ где $f$ — функция только от $k$ и $p$. Автоморфизм $\varphi$ порядка $n$. Группы $G$ называется расщепляющим, если ${x}{x}^\varphi{x}^{\varphi^2}\ldots{x}^{\varphi^{n-1}}=1$ для любого $x$ из $G$ помощью финитной аппроксимации и известных фактов о конечных группах доказательство сводится к случаю конечных $p$-групп. Этот случай и занимает большую часть работы.