УДК 510.67

С. С. Гончаров

Проблема числа неавтоэквивалентных конструктивизаций, 621—639.

Решена проблема числа неавтоэквивалентных конструктивизаций, а именно: для любого не более чем счетного кардинала существует модель точно с таким числом неавтоэквивалентных конструктивизаций.

УДК 517.11

Я. Деметрович, Л. Ханнак

О конечных алгебрах с одной операцией, 640—645.

Исследуется функциональная полнота конечных алгебр с одной по крайней мере двуместной операцией. Доказывается, что если алгебра проста, не имеет собственных подалгебр и число ее элементов не делится на квадрат никакого числа, большего двух, то единственная операция этой алгебры образует функционально полную систему.

УДК 519.45

F. B. Cannonito

Two decidable Markov properties over a class of solvable groups, 646—658.

Доказывается, что проблема эффективного распознавания, является ли конечной или нильпотентной разрешимая группа, конечно определенная в ее (разрешимом) многообразии, имеет положительное решение.

УДК 519.48

А. Т. Колотов

Алгебры и полугруппы с квадратичными функциями роста, 659—668.

Рассматривается ассоциативная $k$-алгебра $R$ с конечной системой порождающих $\mathfrak{A}$, функция роста которой удовлетворяет неравенству $g_{\mathfrak{A},R}(n)\leqslant cn^2, c\geqslant0$. Изучается влияние коэффициента $c$ на структурные свойства алгебры $R$. В частности, получен следующий результат. Пусть $R$ — алгебраическая ассоциативная $k$-алгебра такая, что $g_{\mathfrak{A},R}(n)\leqslant\frac{n^2}{2}$ для некоторой конечной системы порождающих $\mathfrak{A}$. Тогда алгебра $R$ конечномерна.

УДК 519.48

Ю. Н. Мальцев

Некоторые примеры многообразий ассоциативных колец, 669—675.

Пусть $A$ — критическое кольцо. Изучается связь между ${\rm Var}\,A$ и ${\rm Var}\, (qs-1)A$. Доказывается, что если $A$ и $B$ — нильпотентные критические алгебры и ${\rm Var}\,A={\rm Var}\,B$ , то ${\rm Var}\,(qs-1)A={\rm Var}\,(qs-1)B$. Приводятся следующие примеры, 1) Для любого целого числа $n\geqslant 3$ существует кроссово многообразие, порождаемое одной 2-порожденной критической алгеброй и содержащее $(n+2)$-порожденные критические алгебры, которые не являются факторами свободного 2-порожденного кольца. 2) Существуют три различные неразложимые в объединения нильпотентные многообразия, попарные объединения и пересечения которых совпадают. 3) Для любого положительного числа $n>1$ существует критическая нильпотентная алгебра $R$ такая, что между многообразиями ${\rm Var}\,R$ и ${\rm Var}\,(qs-1)R$ существует строго убывающая цепь подмногообразий длины $n$.

УДК 510.67

Т. Г. Мустафин

О теориях с двукардинальной формулой, 676—682.

Теория $T$ счетного языка первого порядка $L$ называется теорией с двукардинальной формулой, если существуют модели $A,B$ теории $T$ и формула $\varphi(x)$ из $L(A)$ такие, что $A\lvertneqq B$ и $\varphi(A)=\varphi(B)$. При этом модель $A$ называется $\varphi(x)$-богатой моделью.

Теорема 1. Если $T$ — стабильная теория, $A$ — $\varphi(x)$-богатая модель $T$, то существует не более чем счетное подмножество $C$ такое, что каждая модель теории ${\rm Th}\,((A,c)_{c\in C})$ является $\varphi(x)$-богатой. Если при этом $T$ $\omega$-стабильна, то $C$ можно считать конечным.

Теорема 2. Если $T$ — теория с двукардинальной формулой, то $I(\omega_\alpha, T)\geqslant \alpha+1$ для любого ординала $\alpha$. Здесь $I(\alpha, T)$ — число неизоморфных моделей $T$ в мощности $\omega_\alpha$.

УДК 517.11:518.5

Е. А. Палютин

Описание категоричных позитивных хорновых классов, 683—700.

Описываются аксиоматизируемые классы моделей, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и декартовых степеней и имеющие в некоторой бесконечной мощности с точностью до изоморфизма только одну модель.

УДК 519.44+519.45

Б. А. Панфёров

О нилыютентных группах с нижними центральными факторами минимальных рангов, 701—706.

Доказывается существование групп максимальной ступени нильпотентности с произвольной ступенью разрешимости. Доказательство основано на соответствии между нильпотентными алгебрами Ли и нильпотентными группами.

УДК 519.4

Р. А. Саркисян

Об одной проблеме равенства для когомологий Галуа, 707—725.

Показано, что предположение о справедливости "принципа Хассе", которое использовалось при доказательстве основной теоремы из работы автора "Когомологий Галуа и некоторые вопросы теории алгоритмов" (Матем. сб., 111, № 4 (1980), 579—609), является излишним. Тем самым и все остальные результаты автора, которые используют эту теорему, перестают зависеть от упомянутого предположения.

УДК 519.4

Ю. В. Сосновский

Изоморфизмы симплектических групп над телами характеристики, не равной 2, 726—739.

Пусть $V,V_1$ — векторные пространства над телами характеристики $\neq 2$ Доказывается, что всякий изоморфизм $\Lambda$ между подгруппами $\triangle$ и $\triangle_1$ групп $P\Gamma Sp_4(V)$ и $P\Gamma Sp_4(V_1)$ соответственно, содержащими достаточно много проективных трансвекций, имеет вид $$\Lambda k=gkg^{-1},\ k\in\triangle,$$ где $g$ — некоторая единственная проективная симплектическая коллинеация пространства $V$ на пространство $V_1$. Кроме того, показывается, что указанные подгруппы не изоморфны проективным линейным группам, богатым проективными трансвекциями (тоже над телами характеристики $\neq 2$).