УДК 519.48

Г. К. Генов

Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем, 365—388.

Указываются в явном виде семь тождеств, которые порождают идеал тождеств полной матричной алгебры порядка 3 над конечным полем. В доказательстве используется описание критических алгебр, нильпотентные подалгебры которых имеют ступень нильпотентности не больше 3. Показано, что каждое тождество не следует из остальных шести.

УДК 518.5

Ю. Л. Ершов

Неразрешимость регулярно замкнутых полей, 389 —394.

Приводится доказательство теоремы о неразрешимости элементарной теории регулярно замкнутых полей.

УДК 519.48

А. Р. Кемер

О разложении многообразий, 395—418.

Получены различные разложения произвольного многообразия $\mathfrak{M}$ в произведение многообразий вида ${\rm Var}\,(A\bigotimes G)$, где $A$ — конечно-порожденная $PI$-алгебра, $G$ — алгебра Грассмана.

УДК 512.56+514.146

А. А. Никитин

О гомоморфизмах свободно порожденных проективных плоскостей, 419—426.

Доказано, что всякая свободно порожденная проективная плоскость может быть отображена гомоморфно на произвольную конечную или счетную проективную плоскость.

УДК 510.54

Р. К. Пранк

Выразимость в элементарной теории рекурсивно-перечислимых множеств с логикой реализуемости, 427—439.

Для замкнутых формул языка первого порядка в сигнатуре $\langle\varnothing,N,W_0,W_1,\ldots:\cup,\cap,{}^{\prime}\rangle$ индукцией по построению формулы определяется реализуемость по Клини. Например, $e\circledcirc\forall \mathfrak{X}\mathfrak{A}(\mathfrak{X})=(\forall x)[!\varphi_e(x)\& \varphi_e(x)\circledcirc\mathfrak{A}(Wx)]$. Теорией ${\mathcal E}_r$ называется множество реализуемых формул, не содержащих констант $W_i$. Предикат $P(\mathfrak{X}_1,\ldots,\mathfrak{X}_n)$, определенный на р. п. множествах, называется выразимым в ${\mathcal E}_r$, если существует такая формула $\mathfrak{A}( \mathfrak{X}_1,\ldots,\mathfrak{X}_n)$ без констант $W_i$, что $\circledcirc\mathfrak{A}(W_{i_{1}},\ldots,W_{i_{n}})\Leftrightarrow P(W_{i_{1}},\ldots,W_{i_{n}})=t$, и арифметическим, если множество $\{\langle i_1,\ldots,i_n\rangle\mid P(W_{i_1},\ldots,W_{i_{n}})=t\}$ арифметическое. Доказано, что предикат $P$ выразим в ${\mathcal E}_r$ тогда и только тогда, когда $P$ — рекурсивно-инвариантный арифметический предикат. Отсюда следует выразимость в ${\mathcal E}_r$ практически всех предикатов содержательной теории р. п. множеств. Показано, что в ${\mathcal E}_r$ можно погрузить арифметику, откуда следует неразрешимость ${\mathcal E}_r$.

УДК 517.11+519.48

B. В. Рыбаков

Допустимые правила предтабличных модальных логик, 440—464.

Доказывается, что алгоритмическая проблема допустимости правил вывода разрешима для всех предтабличных модальных логик. Это выводится как следствие из доказываемой в работе разрешимости универсальных теорий свободных алгебр многообразий, соответствующих предтабличным конечнослойным логикам. Устанавливается, что свободные алгебры предтабличных многообразий в трех случаях имеют конечные базисы квазитождеств, а в остальных — не имеют базисов квазитождеств от конечного числа переменных. Как следствие результаты переносятся на суперинтуиционистские логики.

УДК 519. 44

C. А. Сыскин

О стандартных компонентах типа $F_3$, 465—482.

Пусть $F_3$ — простая группа Томпсона порядка 90745932887000. Эта группа была одной из немногих простых групп, не рассмотренных в качестве стандартных компонент. Это делается в настоящей работе. Справедливы следующие результаты.

Теорема А. Пусть $G$ — конечная группа, содержащая стандартную подгруппу $F\simeq F_3$. Если в $G$ выполнена $B$-гипотеза и $X=\langle F^G\rangle$, то $X/O(X)$ изоморфна $F$ или $F\times F$.

Теорема Б. Конечная группа, содержащая стандартную подгруппу, изоморфную $F_3$, непроста.