УДК 519. 48

А. В. Андрунакиевич, В. А. Андрунакиевич

Односторонние идеалы и радикалы колец, 489—510.

Если $R$ — произвольное ассоциативное кольцо, а $I$ — правый (левый) идеал, то символом $\check{I}$ обозначается наибольший (двусторонний) идеал кольца $R$, содержащийся в $I$. Доказываются следующие теоремы. 1) Произвольный радикал $\rho(R)$ кольца $R$ представим в виде пересечения всех таких правых (левых) идеалов $Q$, что фактор-кольцо $R/\check{Q}$ $\rho$-полупросто. 2) Всякий наднильпотентный радикал $\rho(R)$ кольца $R$ совпадает с пересечением всех таких полупервичных правых (левых) идеалов $Q$ кольца $R$, что $R/\check{Q}$ $\rho$-полупросто. 3) Всякий специальный радикал $\rho(R,\mathfrak{I})$ кольца $R$, определяемый специальным классом колец $\mathfrak{I}$, совпадает как с пересечением всех таких полупервичных односторонних идеалов $Q$, что $R/\check{Q}$ — $\rho$-полупростое кольцо, так и с пересечением всех таких первичных односторонних идеалов $P$, что $R/\check{P}\in\mathfrak{I}$. Приводится ряд приложений этих теорем. В частности, доказывается, что обобщенный квазирегулярный радикал $\mu(R)$ кольца $R$ (радикал Брауна-Маккоя) совпадает с пересечением всех таких максимальных правых (левых) идеалов $P$ кольца $R$, что $R/\check{P}$ — простое кольцо с единицей.

УДК 519.48

В. И. Арнаутов

Продолжение локально ограниченной топологии поля на его простое трансцендентное расширение, 511—521.

Если $\hat R$ — простое трансцендентное расширение поля $R$, то всякая локально ограниченная кольцевая топология поля $R$, удовлетворяющая первой аксиоме счетности, продолжается до кольцевой топологии поля $\hat R$.

УДК 519.4

Ю. А. Бахтурин

Специальные многообразия алгебр Ли, 522—530.

Полностью изучен вопрос о замкнутости совокупности специальных многообразий алгебр Ли характеристики 0 относительно решеточных операций, произведения и коммутирования. Приведены новые примеры специальных многообразий и многообразий бесконечного базисного ранга.

УДК 519.48

Л. А. Бокуть

Новые результаты теории ассоциативных и лиевых колец, 531—545 .

Статья представляет собой обзор некоторых результатов, полученных в научной школе А. И. Ширшова за последние несколько лет.

УДК 519.45

А. Н. Красильников, А. Л. Шмелькин

О шпехтовости и базисном ранге некоторых произведений многообразий групп, 546—554.

Пусть $\mathfrak{N}_c$ — многообразие всех нипьпотентных групп ступени $\leqslant c$, $\mathfrak{A}_k$ — многообразие абелевых групп периода $k$. Доказывается, что каждое подмногообразие $\mathfrak{N}_c\mathfrak{A}_k$ имеет конечный базис тождеств. Отсюда выводится, что тождества сверхразрешимой группы имеют конечный базис. Произведение $\mathfrak{U}\mathfrak{V}$ нильпотентного многообразия $\mathfrak{U}$ и локально-конечного многообразия $\mathfrak{V}$ порождается конечно-порожденной группой тогда и только тогда, когда $\mathfrak{V}$ абелево показателя $n$, а в $\mathfrak{U}$-свободных группах нет элементов, порядки которых делят $n$.

УДК 519.48

Г. П. Кукин

О дифференцированиях свободных $p$-алгебр Ли, 555—562.

Показано, что почти свободная $p$-алгебра Ли, не содержащая конечномерных $p$-подалгебр, является свободной $p$-алгеброй Ли.

УДК 519. 48

В. Н. Латышев

Устойчивые идеалы тождеств, 563—570.

Устанавливаются признаки устойчивости $T$-идеала и доказывается прямыми методами устойчивость некоторых $T$-идеалов, играющих важную роль в теории алгебр с полиномиальными тождествами, в том числе идеала тождеств алгебры матриц, $T$-идеалов, порожденных полиномами лиевой нильпотентности, центральной метабелевости, стандартным полиномом четной степени.

УДК 512.534.3:512.581

Л. А. Скорняков

Общий взгляд на представление моноидов, 571—574.

Пусть $R$ — моноид, а $\mathfrak{K}$ — категория. Пара $(A,f)$, где $A$ — объект из $\mathfrak{K}$, а $f$ — гомоморфизм моноида $R$ в моноид $Hom_\mathfrak{K}(A,A)$, называется $\mathfrak{K}$-представлением моноида $R$. Категория $\mathfrak{K}$ -представлений моноида $R$ обозначается через $\mathfrak{K}$-$Act$-$R$. Категория $R$ называется фундаментальной, если для любых моноидов $R$ и $S$ из эквивалентности категорий $\mathfrak{K}$-$Act$-$R$ и $\mathfrak{K}$-$Act$-$S$ вытекает эквивалентность категорий $SET$-$Act$-$R$ и $SET$-$Act$-$S$, где $SET$ — категория непустых множеств. Доказана фундаментальность категории частично упорядоченных множеств с изотонными отображениями в качестве морфизмов. Отмечена нефундаментальность категорий абелевых групп и линейных пространств.

УДК 519.48

И. П. Шестаков

Альтернативные алгебры с тождеством $[x,y]^n=0$, 575—596.

Алгебра $А$ называется ассоциаторно-нильпотентной, еспи $(A,A,A)_m=0$ для некоторого $m$, где $(А,А,А)_1=(A,A,A)$, $(A,A,A)_{i+1}=((A,A,A)_i,A,A)$. Доказывается, что если альтернативная $\Phi$-алгебра $A$ удовлетворяет тождеству $[x,y]^n=0$ и в $A$ выполнено одно из условий: 1) $A$ имеет конечное число порождающих; 2) $А$ удовлетворяет условию минимальности для двусторонних идеалов; 3)$\frac{1}{3}\in\Phi$ и $A$ удовлетворяет условию максимальности для двусторонних идеалов, то $А$ ассоциаторно-нильпотентна. В качестве следствия отсюда получается, что если в альтернативной алгебре $A$ выполнено одно из условий 1)-3), то $А$ имеет ненулевой ассоциативный центр. При рассмотрении условия 1) доказан следующий результат, имеющий самостоятельный интерес: в конечно-порожденной альтернативной алгебре с тождеством $[x,y]^n=0$ верхний ниль-радикал нильпотентен. В последнем параграфе строится пример альтернативной алгебры с нулевым ассоциативным центром, не являющейся локально-нильпотентной.