УДК 518.5

M. И. Бекенов

О спектре квазитрансцендентных теорий 3—12.

Теория $\mathcal{T}$ имеет ограниченный спектр, если существует такое число $ae$, что $\mathcal{I}(\lambda,\mathcal{T})\leqslant ae$ для любого $\lambda$, где $\mathcal{I}(\lambda,\mathcal{T})$ - число типов изоморфизма моделей мощности $\lambda$. Вводится понятие $\mathcal"{T}$ имеет недвукардинальную базу", и доказывается, что такие теории имеют ограниченный спектр и $ae=2^{2^\omega}$. Рассматривается класс квазитрансиендентных теорий, т. e. таких теорий, у которых каждое несущественное расширение имеет простую атомную модель. Для этого класса доказывается следующая гипотеза Шелаха об ограниченности спектра: для всякой полной счетной теории $\mathcal{T}$ выполняется одно из условий:
1) $\mathcal{I}(\omega_\alpha,\mathcal{T})\leqslant{2}^{2^ \omega}$ для всех $\alpha$,
2) $\mathcal{I}(\omega_\alpha,\mathcal{T})\geqslant\alpha+{1}$ для достаточно больших $\omega$, т. e. спектр $\mathcal{T}$ неограничен.

УДК 519.48

А. И. Валинкас

Отсутствие конечного базиса квазитождеств для квазимногообразия колец, вложимых в радикальные, 13—36.

Получены необходимые и достаточные условия вложимости произвольного кольца в радикальное (в смысле Джекобсона) кольцо, и доказан основной результат, сформулированный в заголовке.

УДК 512. 552. 7

И. Б. Кожухов

Полугрупповые кольца свободных левых идеалов, 37—59.

Определения $\mathcal{F}\mathcal{I}$-колец см. в РЖМат, 1976, 5А259. Пусть $\mathcal{R}$ ассоциативное кольцо с единицей, $\mathcal{C}$ - моноид (т. е. полугруппа с единицей) и $\mid \mathcal{R}\mid,\mid \mathcal{C} \mid>{1}$. В РЖМат, 1979, 2А175 описаны полугрупповые кольца $\mathcal{R}\mathcal{C}$, являющиеся двусторонними $\mathcal{F}\mathcal{I}$-кольцами. В работе обобщается этот результат на левые $\mathcal{F}\mathcal{I}$ -кольца. А именно $\mathcal{R}\mathcal{C}$ является левым $\mathcal{F}\mathcal{I}$-кольцом в том и только том случае, когда $\mathcal{R}$ - тело, а моноид $\mathcal{C}$ удовлетворяет следующим условиям:
1) $\mathcal{C}$ с сокращениями,
2) $\mathcal{C}$ условием максимальности для главных левых идеалов,
3) группа $\mathcal{C}^\ast$ обратимых элементов моноида $\mathcal{C}$ есть свободная группа,
4) для ${a},{b},{c},{d}\epsilon\mathcal{C}$ из равенства ${a}{b}={c}{d}$ следует, что $\mathcal{C}{b}\subseteq\mathcal{C}{d}$ или $\mathcal{C}{d}\subseteq\mathcal{C}{b}$,
5) для $\alpha\epsilon\mathcal{С}\setminus\mathcal{С}^\ast, {b}\epsilon\mathcal{С}, {g}\epsilon\mathcal{С}^\ast$ из равенства ${g}{a}={a}{b}$ следует, что $g=1$. Приведены примеры моноидов $C$ с этими условиями. В доказательстве используется техника из РЖМат, 1979, 2А175 и РЖМат, 1966, 10A221.

УДК 519. 4

В. А. Романьков

О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп, 60—72.

Доказано, что ширина произвольной вербальной подгруппы полициклической группы конечна. Построены примеры вербальных подгрупп бесконечной ширины в конечно—порожденных разрешимых группах.

УДК 512. 55. О

Л. В. Тюкавкин,

О модельной полноте некоторых теорий модулей $\omega$ —кортежей копpoстых изолей , 73—83.

Исследуются логические аспекты теории модулей над ассоциативным кольцом с единицей. Доказывается, что теория всех ненулевых модулей над таким кольцом модельно полна тогда и только тогда, когда основное кольцо является простым бесконечным и регулярным в смысле Неймана. Кроме того, в том случае, когда существует теория инъективных левых модулей (т. e. когда основное кольцо нётерово слева), показано, что полнота этой теории равносильна ее модельной полноте и равносильна тому, что основное кольцо является бесконечным артиновым, причем фактор-кольцо по радикалу Джекобсона просто.

УДК 519. 48

В. T. Филиппов

О свободных алгебрах Мальцева и альтернативных алгебрах, , 84—107.

Пусть $\Phi$-ассоциативное коммутативное колыю с единицей, содержащее $ \frac{1}{6}$. В статье строится тривиальный $\mathcal{T}$- идеал свободной алгебры Мальцева от $\mathcal{k}\geqslant5$ образующих, лежащий в ее лиевом центре и порожденный элементами степени 7. Построен также тривиальный идеал свободной альтернативной $\Phi$-алгебры от $mathcal{k}>5$ образующих. Найдены ненулевые элементы аннулятора свободной $\Phi$-алгебры Мальцева от $\mathcal{k}\geqslant6$ образующих. Из этого результата следует, что не всякая конечномерная алгебра Мальцева над любым полем характеристики $\neq 2,3$ имеет точное представление. Получены новые элементы коммутативного иентра свободной альтернативной $\Phi$ от $\mathcal{k}\geqslant6$ образующих, имеющие минимальную известную степень.

УДК 519. 41/47

H. С. Черников

Локально-ступенчатые группы, факторизуемые подгруппами конечного ранга. , 108—120.

Основным результатом работы является следующая теорема, обобщающая ряд известных результатов, связанных с факторизациями бесконечных групп: локально-ступенчатая группа, факторизуемая двумя локально-конечными подгруппами конечного специального ранга (в смысле А. И. Мальцева), локально­конечна и имеет конечный специальный ранг. Напомним, что локально-ступенчатой называется группа, всякая отличная от единицы подгруппа которой содержит истинную подгруппу конечного индекса.