УДК 512.54 |
М. Г. Амаглобели, В. Н. Ремесленников |
$G$-тождества и $G$-многообразия, 249–272. |
Ранее, Г. Баумслаг, А. Мясников и В. Ремесленников в (Algebraic geometry over groups, J. Algebra, 219, N 1 (1999), 16–79) изложили основы алгебраической геометрии над фиксированной группой $G$, в частности, было введено понятие категории $G$-групп. Для групп этой категории можно определить и понятия $G$-тождества и $G$-многообразия. Излагаются основы теории многообразий в категории $G$-групп. Наиболее существенным является понятие группы $V_{n,red}(G)$ редуцированных $G$-тождеств ранга $n$, которая оказывает сильное влияние на вычисление коордионатных групп для алгебраических множеств над $G$. Доказывается, что $V_{n,red}(G)=1$ для всех натуральных $n$, если $G$ является группой, близкой к свободнй или относительно свободной для некоторого многообразия нильпотентных групп ранга не меньшего ступени нильпотентности $G$. |
Адреса авторов: Амаглобели Михаил Георгиевич, Грузия, 380077, г. Тбилиси, пр. Казбеги, д. 29/2, кв. 116. e-mail: mikhail@sun20.hepi.edu.ge |
УДК 512.547 |
В. А. Белоногов |
Таблица характеров ${\rm X}$ конечной группы вертикальной и горизонтальными линиями разбита на четыре клетки $A$, $B$, $C$, $D$. Устанавливаются соотношения, связывающие ранги этих матриц. В частности, если ${\rm X}$ является $l\times l$-матрицей, $A$ является $s\times t$-матрицей, причем $A$ и $C$ – накрест лежащие клетки, то ${\rm r}(A)={\rm r}(C)+s+t-l$ (здесь ${\rm r}(M)$ обозначает ранг матрицы $M$). Каждому такому разбиению таблицы ${\rm X}$ сопоставляется некоторый целый неотрицательный параметр $m$, и указывается, что $m=0$ в том и только том случае, если $A$, $B$, $C$, $D$ являются активными фрагментами таблицы ${\rm X}$. |
Адрес автора: Белоногов Вячеслав Александрович, Россия, 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, Институт математики и механики УрО РАН. e-mail: bel@imm.uran.ru |
УДК 512.542 |
В. П. Буриченко |
Расширения абелевых 2-групп с помощью $L_2(q)$ с неприводимым действием, 280–319. |
Исследуются группы $\widetilde H$, которые являются нерасщепимым расширением элементарной абелевой 2-группы $A$ с помощью $H\cong L_2(q)$, причем $H$ действует на $A$ неприводимо и $A\ne Z_2$. Вычисляются связанные с этим группы когомологий. Находится полная классификация групп $\widetilde H$ при нечетном $q$. Кроме того, имеется ровно одна, с точностью до изоморфизма, группа $\widetilde H$ при $\congruent{q}{-1}{4}$, и ни одной при $\congruent{q}{1}{4}$. Строится явная конструкция групп $\widetilde H$ как групп автоморфизмов некотрых лупп, близких к экстраспециальным группам (так называемых кодовых лупп, введенных ранее Грайсом и Паркером). |
Адрес автора: Буриченко Владимир Петрович, Беларусь, 246000, г. Гомель, ул. Кирова, д. 32а, Институт математики. |
УДК 512.542 |
А. Х. Журтов |
Изучаются подгруппы групп автоморфизмов абелевых групп $G$, порожденные квадратичными автоморфизмами, т.е. автоморфизмами, каждый из которых как элемент кольца эндоморфизмов группы $G$ является корнем квадратного уравнения $x^2+\alpha x+\beta\cdot 1$ с целыми коэффициентами. Важнейшими примерами квадратичных автоморфизмов служат элементы порядков 3 и 4 в группах регулярных автоморфизмов: они являются корнями уравнений $x^2+x+1$ и $x^2+1$ соответственно. Пусть группа $A$ порождается двумя квадратичными автоморфизмами $a,b$ абелевой группы $G$. Имеют место следующие утверждения: 1) если период $m$ группы $G$ и порядок $n$ произведения $ab$ конечны, то $A$ – конечная группа, порядок которой не превосходит $m^{2n}-1$; 2) если $A$ – периодическая группа, то она конечна. При этом показывается, что в п. 1 оба условия конечности существенны. Как следствие этих результатов получается описание периодических групп регулярных автоморфизмов, порожденных двумя автоморфизмами, порядки которых не превосходят числа 4. |
Адрес автора: Журтов Арчил Хазешевич, Россия, 360016, г. Нальчик, ул. Гагарина, д. 205, кв. 1. e-mail: archil@ns.kbsu.ru |
УДК 512.542 |
В. Д. Мазуров |
О группах периода 60 с заданными порядками элементов, 329–346. |
Доказывается, что группа, в которой есть элементы порядков 1,2,3,4,5 и нет элементов других порядков, локально конечна и изоморфна либо знакопеременной группе степени 6, либо расширению нетривиальной элементарной абелевой 2-группы посредством знакопеременной группы степени 5. |
Адрес автора: Мазуров Виктор Данилович, Россия, 630090, г. Новосибирск, просп. Акад. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: mazurov@math.nsc.ru |
УДК 512.544.2 |
Я. Н. Нужин, А. В. Якушевич |
Промежуточные подгруппы групп Шевалле над полем частных кольца главных идеалов, 347–358. |
Пусть $K$ – поле частных кольца главных идеалов $R$, $G_K$ – группа Шевалле (нормального типа) над полем $K$. Для любого подкольца $P\subset K$ через $G_P$ обозначается подгруппа всех элементов из $G_K$, коэффициенты которых лежат в $P$. Пусть $M$ – промежуточная подгруппа между $G_R$ и $G_K$, т.е. $G_R\subseteq M\subseteq G_K$. Доказывается, что для некоторого промежуточного подкольца $P$ $(R\subseteq P\subseteq K)$ справедливо $M=G_P$. |
Адреса авторов: Нужин Яков Нифантьевич, Россия, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, Красноярский государственный технический университет. e-mail: nuzhin@tect.kgtu.runnet.ru |
УДК 512.54 |
Е. И. Хухро |
Рассматривается действие $p$-группы $G$ на абелевой $p$-группе $A$, которая считается точным правым ${\Bbb Z} G$-модулем. Целью является установление связи между периодами ядер индуцированного действия $G$ на элементарных $p$-группах $A/pA$ и $\Omega _1(A)=\{ x\in A\mid px=0\}$; эти ядра обозначаются через $C_G(A/pA)$ и $C_G(\Omega _1(A))$ соответственно. Доказывается, что если период одного из ядер $C_G(A/pA)$ или $C_G(\Omega _1(A))$ конечен, то и другое ядро имеет конечный период, ограниченный в терминах периода первого; кроме того, эти ядра будут нильпотентны. В одном случае налагается дополнительное ограничение $\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}p^iA=0$. Сплетение $C_{p^{\infty }}\wr G$ квазициклической группы с произвольной $p$-группой $G$ показывает, что это условие опустить нельзя. Полученные результаты используются для подтверждения в одном частном случае гипотезы об ограничении на ступень разрешимости конечной группы с автоморфизмом порядка 2, все неподвижные точки которого центральны (разрешимость таких групп, а также сведение к случаю 2-группы установлены ранее В. Д. Мазуровым и Т. Л. Недорезовым). |
Адрес автора: Хухро Евгений Иванович, Россия, 630090, г. Новосибирск, просп. Акад. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: khukhro@math.nsc.ru |