УДК 512.54 |
Г. А. Баженова |
О рациональных множествах в конечно порожденных нильпотентных группах, 379–440. |
Рассматривается класс рациональных подмножеств группы, т.е. наименьший класс ее подмножеств, содержащий все конечные подмножества и замкнутый относительно операций объединения, произведения двух множеств и порождения множеством подмоноида. Доказывается, что класс рациональных подмножеств конечно порожденной нильпотентной группы $G$ является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда группа $G$ почти абелева. Кроме того, изучается вопрос о том, когда множество решений уравнений в группах будет рациональным. Доказывается, что множество решений произвольного уравнения от одной неизвестной в конечно порожденной двуступенно нильпотентной группе рационально. Приводится пример уравнения от одной неизвестной в свободной трехступенно нильпотентной группе ранга два, множество решений которого не является рациональным. |
Адрес автора: Баженова Галина Александровна, Россия, 644116, г. Омск, ул. Осоавиахимовская, д. 290, кв. 86. |
УДК 512.54 |
В. Г. Бардаков |
Вычисление коммутаторной длины в свободных группах, 395–440. |
Изучается коммутаторная длина в свободных группах (под коммутаторной длиной ${\rm cl}(g)$ элемента $g$ из коммутанта $G'$ группы $G$ понимается наименьшее натуральное число $k$ такое, что $g$ является произведением $k$ коммутаторов). Строится чисто алгебраический алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе $F_2$ (теорема 1). Кроме того, для любых элемента $z\in F_2'$ и натурального $m$ приводится оценка: ${\rm cl}(z^m)\geq (ms(z)+6)/12$, где $s(z)$ – некоторое неотрицательное число, определенное элементом $z$ (теорема 2). Эта оценка используется для вычисления коммутаторной длины некоторых конкретных элементов. По аналогии с понятием ширины коммутанта, известного из теории групп, вводится понятие ширины производной подалгебры. Ширина производной подалгебры вычисляется для алгебры пар $P$, а также для соответствующей ей алгебры Ли $P_L$. Алгебра пар естественным образом возникает при доказательстве теоремы 2 и обладает рядом интересных свойств. Установливается, что в свободной группе $F_{2k}$ со свободными порождающими $a_1,b_1,\ldots,a_k,b_k$, $k\in {\bf N}$, для всякого натурального $m$ справедливо равенство ${\rm cl}(([a_1,b_1]\ldots [a_k,b_k])^m)=[(2-m)/2]+mk$. При $k=1$ отсюда получается известный результат Каллера. Для конечно-порожденной группы $G$ известно понятие функции роста. Свяжем с коммутантом группы $F_2$ некоторый ряд, зависящий от двух переменных, который несет информацию не только о числе элементов имеющих заданную длину, но и о числе элементов, имеющих заданную коммутаторную длину. Формулируются несколько открытых вопросов. |
Адрес автора: Бардаков Валерий Георгиевич, Россия, 630090, Новосибирск, 90, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: bardakov@math.nsc.ru |
УДК 512.54.05:512.552 |
О. В. Белеградек |
Финитно аппроксимируемая ассоциативная алгебра c неразрешимой проблемой равенства, 441–451. |
Для любого конструктивного коммутативного кольца $k$ с единицей строится пример финитно аппроксимируемой конечно-порожденной рекурсивно определенной ассоциативной $k$-алгебры с единицей, имеющей неразрешимую проблему равенства. Это отвечает на вопрос Л. А. Бокутя. |
Адрес автора: Белеградек Олег Вильгельмович, Россия, 650043, Кемерово, ул. Красная, 6; |
УДК 514.146 |
И. В. Бусаркина |
Некоторые 2-свойства группы автотопизмов $p$-примитивной полуполевой плоскости, 452–464. |
Рассматриваются абелевы подгруппы и силовские 2-подгруппы группы автотопизмов $p$-примитивной полуполевой плоскости. |
Адрес автора: Бусаркина Ирина Викторовна, Россия, 660036, г. Красноярск, ул. Урицкого, д. 125, кв. 203. Тел.: (3912) 23-20-82. |
УДК 512.54 |
В. М. Копытов |
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп, 465–479. |
Пусть $G$ – полулинейно упорядоченная группа с положительным конусом $P$, через $\textbf{n}(G)$ обозначим наибольшую выпуклую направленную нормальную подгруппу группы $G$, через $\textbf{o}(G)$ – наибольшую выпуклую правоупорядоченную подгруппу $G$, через $\textbf{r}(G)$ – множество всех таких элементов $x$ из $G$, что $x$ и $x^{-1}$ сравнимы со всяким элементом из $P^{\pm}$ (совокупность всех элементов группы, сравнимых с единицей). Ранее было доказано, что $\textbf{r}(G)$ является выпуклой правоупорядоченной подгруппой в $G$, причем $\textbf{n}(G)\subseteq \textbf{r}(G)\subseteq \textbf{o}(G)$. Здесь устанавливается одно новое свойство подгруппы $\textbf{r}(G)$, и показывается, что неравенства в приведенной выше системе включений вообще говоря строгие. |
Адрес автора: Копытов Валерий Матвеевич, Россия, 630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. |
УДК 510.665:512.54 |
Ю. В. Нагребецкая |
О разрешимости теорий первого порядка групп и моноидов целочисленных матриц, 480–504. |
Исследуется проблема разрешимости теорий первого порядка полной линейной группы $GL(n, {\Bbb Z})$ всех целочисленных матриц порядка $n\ge 3$ и соответствующего полного линейного моноида $ML(n, {\Bbb Z})$. Доказывается, что теории ${ \forall \neg \vee GL(3, {\Bbb Z})}$, ${\exists \neg \wedge GL(3, {\Bbb Z})}$, ${\forall \neg \vee ML(3, {\Bbb Z})}$ и $\exists \neg \wedge ML(3, {\Bbb Z})$ являются критическими, а теории ${\exists \forall\wedge \vee GL(n, {\Bbb Z})}$, ${\exists\forall \wedge \vee ML(n, {\Bbb Z})}$ для любого $n\ge 3$ разрешимы. |
Адрес автора: Нагребецкая Юлия Вацлавовна, Россия, 620075, г. Екатеринбург, Уральский государственный университет, кафедра алгебры и дискретной математики. e-mail: julia.nagrebetskaya@usu.ru |