УДК 512.54.01

А. И. Будкин

О классах Леви, порожденных нильпотентными группами, 635–647.

Пусть $L({\cal M})$ – класс всех групп $G$, в которых нормальное замыкание $(x)^G$ любого элемента $x$ принадлежит классу ${\cal M}$. Класс $L({\cal M})$ – класс Леви, порожденный ${\cal M}$. Пусть ${\cal N}$, ${\cal N}_0$ – классы конечно-порожденных нильпотентных групп и конечно-порожденных нильпотентных групп без кручения соответственно. Доказывается, что $q{\cal N}_0\subset {L}(q{\cal N}_0)$ и $q{\cal N}\subset {L}(q{\cal N})$, а поэтому $L(q{\cal N}_0)\not=qL({\cal N}_0)$ и $L(q{\cal N})\not=qL({\cal N})$. Показывается, что квазимногообразия $L(q{\cal N})$ и $L(q{\cal N}_0)$ замкнуты относительно свободных произведений, причем каждое из этих квазимногообразий содержит не более одного максимального собственного подквазимногообразия. Доказывается, что если квазимногообразие ${\cal M}$ замкнуто относительно свободных произведений, то таковым же является квазимногообразие $L({\cal M})$.

Адрес автора: Будкин Александр Иванович, Россия, 656064, г. Барнаул, ул. Павловский тракт, 60-а, кв. 168. Тел.: (3852) 42-81-98. e-mail: budkin@math.dcn-asu.ru

УДК 512.542

А. В. Заварницин

Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени $r+1$ и $r+2$ для простого $r$ и группы степени $16$, 648–661.

Доказывается, что конечная группа, множество порядков элементов которой такое же, как у знакопеременной группы $A_n$ степени $n=r+1$, $r+2$ для простого $r>5$ или $n=16$, изоморфна $A_n$.

Адрес автора: Заварницин Андрей Витальевич, Россия, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: zav@math.nsc.ru

УДК 512.552.32

П. С. Колесников

Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова, 662–692.

Приводится новое доказательство теоремы Л. Г. Макар-Лиманова о существовании алгебраически замкнутого тела в смысле существования решения любого (обобщенного) полиномиального уравнения. Строится новый пример такого тела, конструкция Л. Г. Макар-Лиманова содержится в нем как подтело. Используются основные идеи оригинального доказательства, но для построенного тела доказательство алгебраической замкнутости проще.

Адрес автора: Колесников Павел Сергеевич, Россия, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. Тел. (3832) 33-58-87. e-mail: kolesn@nsu.ru

УДК 510.53:512.55

Ю. В. Нагребецкая

О граничной эквивалентности колец и матричных колец над ними, 693–710.

Исследуется вопрос о равенстве границ разрешимости некоторых колец и соответствующих им матричных колец в схемной или схемно-альтернативной иерархиях языков. Пусть ${\cal B}_H (A; \sigma)$ – граница разрешимости алгебраической системы $\langle A; \sigma\rangle$ относительно иерархии $H$. Для кольца $R$ обозначим через ${\underline M}_n(R)$ алгебру с основным множеством $\bigcup \limits_{ 1\leqslant k,l\leqslant n} R^{k\times l}$ и операциями $+$ и $\cdot$, заключающимися в расширении при необходимости исходных матриц необходимым количеством нулевых строк и столбцов, добавляемых снизу и справа, с последующими "обычными" сложением и умножением полученных матриц. Основные результаты содержатся в теоремах 1–3.

Теорема 1. Если кольцо $R$ является телом или целостным кольцом и имеет нулевую или нечетную характеристику, то для любого $n\geqslant 1$ выполняются равенства ${\cal B}_S(R; +,\cdot)={\cal B}_S (R^{n\times n}; +,\cdot)$ и ${\cal B}_S( R; +,\cdot,1)={\cal B}_S (R^{n\times n}; +,\cdot,1)$. Если же $R$ – произвольное ассоциативное кольцо с единицей, то ${\cal B}_S(R; +,\cdot,1)= {\cal B}_S ( R^{n\times n}; \sigma_0\cup\{e_{i j}\} )$ для любых $n\geqslant 1$ и $i,j \in \{1, \ldots, n\}$, где $e_{ij}$ – матричная единица.

Теорема 2. Если $R$ – ассоциативное кольцо с единицей, то ${\cal B}_{S}(\underline{M}_n(R))={\cal B}_{S}(R; +,\cdot)$.

Теорема 3. Для любого $n\geqslant 1$ имеет место равенство ${\cal B}_{S A}(\underline{M}_n(\Bbb Z))=\{\forall\neg\vee, \exists\neg\wedge, \forall\exists, \exists\forall\}$.

Адрес автора: Нагребецкая Юлия Вацлавовна, Россия, 620075, г. Екатеринбург, Уральский государственный университет, кафедра алгебры и дискретной математики. e-mail: julia.nagrebetskaya@usu.ru

УДК 510.5

А. В. Ромина

Определимость булевых алгебр в ${\mathbb{HF}}$-надстройках, 711–719.

В рамках подхода $\Sigma$-определимости, введенного Ю.Л.Ершовым, изучается определимость булевых алгебр и их рангов Фреше в наследственно-конечных надстройках. Строятся примеры суператомной булевой алгебры, ранг Фреше которой не является $\Sigma$-определимым в наследственно конечной надстройке над ней, и допустимого множества, в котором безатомная булева алгебра не является автоустойчивой.

Адрес автора: Ромина Анна Валерьевна, Россия, 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, Новосибирский государственный университет.

УДК 510.64

В. В. Рыбаков, М. Терзилер, В. Римацкий

Описание базиса в полу-редуцированной форме для правил вывода интуиционистской логики, 720–740.

Показывается, что множество всех правил в полу-редуцированной форме, посылки которых удовлетворяют набору специфичных условий, образуют базис всех допустимых в IPC правил. Данные условия достаточно естественны и многие из них выглядят как свойства максимальных теорий из канонической модели Крипке для IPC. Кроме того, строится аналогичный базис для правил, допустимых в суперинтуиционистской логике KC – логике закона слабого исключенного третьего.

Адреса авторов: Рыбаков Владимир Владимирович, Россия, 660049, г. Красноярск, пр. Свободный 79, Красноярсеий гос. университет, математический факультет. e-mail: rybakov@math.kgu.krasnoyrask.ru; Istanbul University, Istanbul, Turkey. e-mail: vladimir@bilgi.edu.tr

Terziler Mehmet, Department of Mathematics, Science Faculty, Ege University, 35 100 Bornova-Izmir, Turkey. e-mail: terzuler@fenfac.ege.edu.tr

Римацкий Виталий Валентинович, Россия, 660049, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, КГУ, математический факультет.

УДК 510.5

А. Н. Хисамиев

О внутренней перечислимости линейных порядков, 741–750.

Исследуется вопрос: какие линейно упорядоченные множества внутренне перечислимы? В частности, доказывается, что любой счетный ординал не является внутренне перечислимым. Для этого установливаются критерии экзистенциальной эквивалентности наследственно конечных допустимых множеств, представляющих самостоятельный интерес. Ю. Л. Ершов получил критерий для достаточно насыщенных моделей $\mathfrak{M}$, когда элементы $h_0,h_1$ из $HF(\mathfrak{M})$ реализуют один и тот же тип. Оказывается, что этот критерий справедлив для любой модели $\mathfrak{M}$, если ограничиться рассмотрением только 1-типов.

Адрес автора: Хисамиев Асылхан Назифович, Россия, 630128, г. Новосибирск, ул. Демакова, д. 18, кв. 271. Тел.: (3832) 36-13-68.