УДК 510.53

С. С. Гончаров, Дж. Найт

Вычислимые структурные и антиструктурные теоремы, 639—681.

В своем докладе в Казани в 1997 г. первый автор сформулировал ряд проблем, касающихся классификации вычислимых представителей различных классов моделей. Казалось, что некоторые проблемы могут иметь хороший ответ, в то время как другие — еще нет.  По окончании указанного доклада, Шор спросил о том, что могло бы быть убедительным отрицательным ответом. Целью настоящей работы является рассмотрение некоторых возможных ответов на этот вопрос Шора. Рассматриваются модели $\mathcal{A}$ некоторого вычислимого языка, носители которых являются вычислимыми множествами констант. При измерении сложности $\mathcal{A}$ отождествляется с ее атомной диаграммой $D(\mathcal{A})$, которая, с помощью геделевской нумерации, может рассматриваться как подмножество в $\omega$. В частности, $\mathcal{A}$ вычислима, если $D(\mathcal{A})$ вычислима. Если $K$ — некоторый класс, то через $K^{c}$ обозначается множество вычислимых элементов из $K$. Вычислимая характеризация для $K$ должна отделять вычислимые элементы $K$ от других моделей, т. е. либо не встречающихся в $K$, либо не  являющихся вычислимыми. Вычислимая классификация (или структурная теорема) должна описывать каждый элемент $K^{c}$ с точностью до изоморфизма или другой эквивалентности в терминах относительно простых инвариантов. Вычислимая антиструктурная теорема должна утверждать, что вычислимой структурной теоремы не существует. Используются три различных подхода. Все они дают ''правильный" ответ для векторных пространств над $Q$ и для линейных порядков. Это означает, что при всех трех подходах для обоих классов есть вычислимая характеризация; для векторных пространств можно найти вычислимую классификацию, а для линейных порядков — нет. Формулируются открытые проблемы.

Ключевые слова: вычислимая характеризация, вычислимая классификация, структурная теорема, антиструктурная теорема.

Адреса авторов: Гончаров Сергей Савостьянович, Россия, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. Тел.: (383-2) 33-28-94. e-mail: gonchar@math.nsc.ru

Knight Julia, USA, Notre Dame, Notre Dame University. Phone: (219) 631-63-55. e-mail: Knight.1@nd.edu

УДК 510.53:512.52

Ю. Л. Ершов

Кратно нормированные поля. II, 682—712.

Обобщаются основные теоретико-модельные  результаты о кратно нормированных полях с почти булевыми семействами  колец нормирования, полученные автором ранее в  гл. 4, разд. 4.6 монографии ''Кратно нормированные поля"  [Новосибирск, Научная книга, 2000], по двум направлениям: ослабить ограничение абсолютной неразветвленности до условия конечности индекса абсолютного ветвления и объединить контекстом теоремы 4.6.2 и 4.6.4 (4.6.3 и 4.6.5).

Ключевые слова: кратно нормированное поле, булево семейство колец нормирования, индекс абсолютного ветвления.

Адрес автора: Ершов Юрий Леонидович, Россия, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: ershov@math.nsc.ru

УДК 512.545

А. В. Зенков

Частичные порядки группы ${\rm Aut}\mathbf{Q}$, 713—729.

Изучаются максимальные и минимальные частичные порядки группы ${\rm Aut}\mathbf{Q}$ всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества рациональных чисел $\mathbf{Q}$. Доказывается, что группа ${\rm Aut}\mathbf{Q}$ имеет 36 различных минимальных нетривиальных частичных порядков, и приводится их полное описание. Дается полное описание всех максимальных частичных порядков каждой из нормальных подгрупп группы ${\rm Aut}\mathbf{Q}$.

Ключевые слова: линейно упорядоченное множество рациональных чисел, максимальный частичный порядок, минимальный частичный порядок, порядковый автоморфизм.

Адрес автора: Зенков Алексей Владимирович, Россия, 656099, г. Барнаул, пр. Комсомольский, д. 65а, кв. 500.

УДК 512.8

В. М. Левчук

Гиперцентральные ряды и парные пересечения силовских подгрупп групп Шевалле, 730—744.

Пусть $G(K)$ — группа Шевалле над полем $K$ нормального типа, ассоциированная с системой корней $G=\Phi$, или скрученного типа $G= {}^m{\Phi}$, где $m=2,3$.Ее корневые подгруппы $X_s$ для всевозможных $s \in G^+$ порождают максимальную унипотентную подгруппу $U=UG(K)$; при $p={\rm char}  K>0$ это — силовская $p$-подгруппа группы $G(K)$. Исследуются $G$ и $K$, для которых существует парное пересечение $U\cap U^g \ (g\in G(K))$, не сопряженное в $G(K)$ с нормальной подгруппой группы $U$. Когда $K$ — конечное поле, это равносильно тому, что нормализатор пересечения $U\cap U^g$ в $G(K)$ имеет $p$-кратный индекс. Положим $p (\Phi)= \max \{(r,r)/(s,s) \mid r,s \in \Phi \}$. Доказывается

Теорема 1. Пусть $G(K)$ — группа Шевалле лиева ранга, большего чем 1, над конечным полем $K$ характеристики $p$, $U$ — ее силовская $p$-подгруппа, совпадающая с $UG(K)$, причем либо $G = \Phi$ и $p(\Phi)$ отлично от чисел $p$ и 1, либо $G(K)$ является скрученной группой. Тогда $G(K)$ содержит такой мономиальный элемент $n$, что индекс нормализатора пересечения $U\cap U^n$ в группе $G(K)$ делится на $p$.

Пусть $K$ — ассоциативно коммутативное кольцо с единицей, ${\Phi}(K,J)$ — конгруэнцподгруппа группы Шевалле ${\Phi}(K)$ по модулю нильпотентного идеала $J$.  Исследуется гиперцентральный ряд $1 \subset Z_1 \subset Z_2 \subset \cdot \cdot \cdot \subset Z_{c-1}$ группы $U{\Phi}(K){\Phi}(K,J)$. Теорема 2 показывает, что при дополнительном ограничении на частное идеалов $(J^t : J)$ центральные ряды связаны соотношением $Z_i = \Gamma_{c-i}C,\ 1\leqslant i < c$, где $C$ — подгруппа центральных диагональных элементов. Такая связь существует, в частности, если $K=Z_{p^m}$ и $J=(p^d)$, $1 \leqslant d < m$, $d \mid m$.

Ключевые слова: группа Шевалле, конгруэнц-подгруппа группы Шевалле, лиев ранг, гиперцентральный ряд, центральный диагональный элемент, мономиальный элемент.

Адрес автора: Левчук Владимир Михайлович, Россия, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, Красноярский гос. университет. e-mail: levchuk@home.krasnoyarsk.ru

УДК 510.67:512.55

Е. В. Овчинникова

Полные классы регулярных полигонов над моноидами глубины 2, 745—753.

Доказывается, что для линейно упорядоченного моноида глубины 2 с аксиоматизируемым классом регулярных полигонов полнота этого класса эквивалентна его модельной полноте, и дается алгебраическое описание таких моноидов.

Ключевые слова: линейно упорядоченный моноид, полный класс, модельно полный класс.

Адрес автора: Овчинникова Елена Викторовна, Россия, 630099, г. Новосибирск, ул. Потанинская, д. 3, кв. 4. e-mail: algebra@nstu.ru