УДК 510.64

Л. Л. Максимова

Определимость в нормальных расширениях логики S4, 387—410.

Исследуется проективное свойство Бета PB2 в нормальных модальных логиках, расширяющих логику S4. Находится удобный критерий справедливости свойства PB2 для более широкого семейства расширений логики K4. Дается описание всех локально табличных расширений логики Гжегорчика со свойством PB2. Находятся суперинтуиционистские логики с проективным свойством Бета, не имеющие модальных напарников с этим свойством.

Ключевые слова: модальная логика, логика Гжегорчика, суперинтуиционистская логика, локально табличное расширение, проективное свойство Бета.

Адрес автора: Максимова Лариса Львовна, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: lmaksi@math.nsc.ru

УДК 512.542

В. С. Монахов

Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп, 411—424.

Исследуется строение разрешимой группы $G$ в зависимости от значения функции $m(G)=\max\limits_{p\in \pi (G)} m_p(G)$, где $m_p(G)=\max\{\log_p|G:M| \mid M<_{\rm max} G$, $|G:M|=p^a \}$, $p\in \pi (G)$. Доказывается

Теорема 1. Пусть $G$ — разрешимая группа. Тогда (1) $r(G/\Phi (G))=m(G)$; (2) $d(G/\Phi (G))\leqslant 1+\rho (m(G))\leqslant 3+m(G)$; (3) $l_p(G)\leqslant 1+t$, где $2^{t-1}<m_p(G)\leqslant 2^t$.

Здесь $\Phi (G)$ — подгруппа Фраттини группы $G$, а $r(G)$, $d(G)$ и $l_p(G)$ — главный ранг, производная длина и $p$-длина группы $G$ соответственно. Через $\rho (n)$ обозначается максимум производных длин вполне приводимых разрешимых подгрупп полной линейной группы группы $GL(n,F)$ степени $n$, где $F$ — поле.
Введенная функция $m(G)$ позволяет установить существование и сопряженность нового класса подгрупп в разрешимых группах. А именно, справедлива

Теорема 2. Для любого натурального $k$ в каждой разрешимой группе $G$ существует подгруппа $K$, обладающая следующими свойствами: (1) $m(K)\leqslant k$; (2) если $T$ и $H$ — подгруппы группы $G$ такие, что $K\le T<_{\rm max} H\le G$, то $|H:T|=p^t$ для некоторого простого $p$ и $t>k$. Кроме того, любые две подгруппы группы $G$, обладающие свойствами (1) и (2), сопряжены между собой.

Ключевые слова: конечная разрешимая группа, максимальная подгруппа.

Адрес автора: Монахов Виктор Степанович, Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины, ул. Советская, 104, г. Гомель, 246019, Беларусь. e-mail: monakhov@gsu.unibel.by

УДК 510.532

В. Л. Селиванов

Разностная иерархия в $\varphi$-пространствах, 425—444.

Устанавливаются некоторые результаты о борелевской и разностной иерархиях подмножеств $\varphi$-пространств. Например, доказываются аналоги теорем Ф. Хаусдорфа (о связи разностной и борелевской иерархий) теоремы М. А. Лаврентьева (о том, что разностная иерархия не обрывается).

Ключевые слова: $\varphi$-пространство, борелевская иерархия, разностная иерархия.

Адрес автора: Селиванов Виктор Львович, Педагогический университет, ул. Вилюйская, 28, г. Новосибирск, 630126, Россия. e-mail: vseliv@nspu.ru

УДК 512.572

Д. М. Смирнов

Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора, 445—458.

Для целых чисел $1\leqslant m<n$ многобразием Кантора с $m$ основными $n$-арными операциями $\omega_i$ и $n$ основными $m$-арными операциями $\lambda_k$ называется многообразие алгебр, определимое тождествами $\lambda_k(\omega_1(\bar x),\ldots, \omega_m(\bar x)) = x_k$, $\omega_i(\lambda_1(\bar y),\ldots ,\lambda_n(\bar y)) = y_i$, где $\bar x = (x_1,\ldots , x_n)$, $\bar y = (y_1,\ldots , y_m)$. Доказывается, что типы интерпретируемости многообразий Кантора образуют дистрибутивную решетку ${\mathbb C}$, двойственную прямому произведению ${\mathbb Z}_1\times {\mathbb Z}_2$ решетки ${\mathbb Z}_1$ целых положительных чисел с естественным линейным порядком и решетки ${\mathbb Z}_2$ целых положительных чисел с отношением делимости. Решетка ${\mathbb C}$ является верхней подполурешеткой решетки ${\mathbb L}^{\rm int}$ всех типов интерпретируемости многообразий алгебр.

Ключевые слова: многообразие Кантора, дистрибутивная решетка, типы интерпретируемости многообразий, решетка многообразий.

Адрес автора: Смирнов Дмитрий Матвеевич, ул. Воеводского, д. 5, кв. 1, г. Новосибирск, 630090, Россия. Тел.: (3832) 30-07-99.

УДК 510.5

А. И. Стукачев

$\Sigma$-определимость в наследственно конечных надстройках и пары моделей, 459—481.

Рассматривается проблема $\Sigma$-определимости несчетной модели $c$-простой теории в наследственно конечных надстройках над моделями другой $c$-простой теории. В терминах разрешимых моделей и веденного в работе понятия относительной неразличимости дается одно необходимое условие. Устанавливается критерий $\Sigma$-определимости несчетной модели $c$-простой теории в надстройках над плотными линейными порядками и бесконечными моделями пустой сигнатуры. Доказывается существование $c$-простой теории (бесконечной сигнатуры), каждая несчетная модель которой не является $\Sigma$-определимой в надстройках над плотными линейными порядками. Дается критерий рекурсивной насыщенности для пар моделей.

Ключевые слова: $\Sigma$-определимость, $c$-простая теория, модель, наследственно конечная надстройка, линейный порядок.

Адрес автора: Стукачев Алексей Ильич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: aistu@math.nsc.ru

УДК 512.552.4

О. Б. Финогенова

Многообразия ассоциативных алгебр, удовлетворяющие тождествам Энгеля, 482—505.

Многообразие ассоциативных алгебр (колец) называется энгелевым, если оно удовлетворяет тождеству вида $[\ldots[[x,y],y],\ldots,y]=0$. Согласно лемме Цорна каждое неэнгелево многообразие содержит некоторое почти энгелево многообразие, т. е. минимальный по включению элемент в множестве всех неэнгелевых многообразий. Cписок таких многообразий для алгебр над полем характеристики 0 найден Ю. Н. Мальцевым. Здесь приводится полное описание почти энгелевых многообразий как в случае алгебр над полем положительной характеристики, так и в случае колец. Тем самым решается проблема 3.53 из Днестровской тетради.

Ключевые слова: тождество Энгеля, почти энгелево многообразие, многообразие ассоциативных колец, ассоциативная алгебра над полем.

Адрес автора: Финогенова Ольга Борисовна, кафедра алгебры и дискретной математики, Уральский госуниверситет, пр. Ленина, 51, г. Екатеринбург, 620083, Россия. Тел.: (3432) 50-75-79. e-mail: Olga.Paison@usu.ru