УДК 512.554.3 |
А. Н. Корюкин |
Базис Грёбнера–Ширшова алгебры Ли $A_n$ вычисляется для произвольного порядка порождающих (вершин графа Дынкина). В частном случае, когда вершины графа Дынкина упорядочены последовательно, базис Грёбнера–Ширшова алгебры Ли $A_n$ был ранее вычислен Л. А. Бокутем и А. А. Кляйном. |
Ключевые слова: алгебра Ли, базис Грёбнера–Ширшова. |
Адрес автора: Корюкин Анатолий Николаевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: koryukin@math.nsc.ru |
УДК 510.5 |
С. Ю. Подзоров |
О локальном строении полурешёток Роджерса $\Sigma^0_n$-вычислимых нумераций, 148—172. |
Исследуются особенности алгебраического строения полурешёток Роджерса $\Sigma^0_n$-вычислимых нумераций для $n\geqslant 2$. Доказывается, что в каждую такую полурешётку можно вложить произвольную лахлановскую полурешётку в качестве идеала, а над произвольным не $0'$-главным элементом такой решётки — произвольную лахлановскую полурешётку в качестве интервала. |
Ключевые слова: полурешётка Роджерса, лахлановская полурешётка, $\Sigma^0_n$-вычислимая нумерация. |
Адрес автора: Подзоров Сергей Юрьевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. Тел.: (3832) 33-28-94. e-mail: podz@math.nsc.ru |
УДК 510.532 |
В. Л. Селиванов |
Изучаются борелевская и разностная иерархии в пространстве $P\omega$ всех подмножеств $\omega$ с так называемой топологией Скотта (заметим, что пространства $P\omega$ и $2^\omega$ определены по сути на одном и том же множестве, но топологически различны). Рассматривается сводимость Вэджа в пространстве $P\omega$. Полученные результаты применяются к проблеме характеризации $\omega_1$-термов $t$, удовлетворяющих равенству ${\cal C}=t({\bf\Sigma}^0_1)$, для данного борелевского класса Вэджа ${\cal C}$. Даётся её решение для некоторых уровней иерархии Вэджа, в частности для всех уровней разностной иерархии Хаусдорфа. Обсуждаются некоторые смежные факты и открытые вопросы. |
Ключевые слова: счётный булев терм, иерархия Вэджа, разностная иерархия Хаусдорфа, борелевская иерархия. |
Адрес автора: Селиванов Виктор Львович, НГПУ, ул. Вилюйская, 28, г. Новосибирск, 630126, Россия. e-mail: vseliv@nspu.ru |
УДК 512.572 |
Д. М. Смирнов |
Пусть $\Pi$ — множество всех простых чисел, ${\mathbb A}$ — поле всех алгебраических чисел, $Z$ — множество натуральных чисел, свободных от квадратов. Рассматриваются частично упорядоченные множества типов интерпретируемости $$ {\mathbb L}_{\Pi}=(\{[AD_{\Gamma}]\mid\Gamma\subseteq\Pi\},\leq),\ {\mathbb L}_{\mathbb A}=(\{[M_{\mathbb K}]\mid {\mathbb K} \subseteq{\mathbb A}\},\leq),$$ $$ {\mathbb L}_{Z}=(\{[G_{n}]\mid n\in Z\},\leq),$$ где $AD_{\Gamma}$ — многообразие $\Gamma$-полных абелевых групп с однозначным извлечением $p$-го корня $\xi_p(x)$ для каждого $p\in \Gamma$, $M_{\mathbb K}$ — многообразие ${\mathbb K}$-модулей над нормальным полем ${\mathbb K}$, содержащимся в ${\mathbb A}$, $G_n$ — многообразие $n$-группоидов, определимое циклической подстановкой $(12\ldots n)$. Доказывается, что ${\mathbb L}_{\Pi}$, ${\mathbb L}_{\mathbb A}$ и ${\mathbb L}_{Z}$ — дистрибутивные решётки, причем ${\mathbb L}_{\Pi}\cong {\mathbb L}_{\mathbb A}\cong {\mathbb S}{\rm ub}\,\Pi$ и ${\mathbb L}_{Z}\cong {\mathbb S}{\rm ub}_f\Pi$, где ${\mathbb S}{\rm ub}\,\Pi$ и ${\mathbb S}{\rm ub}_f\Pi$ — решётки по включению всех и конечных подмножеств множества $\Pi$, соответственно. |
Ключевые слова: тип интерпретируемости, многообразие, $\Gamma$-полная абелева группа, модуль над нормальным полем, $n$-группоид. |
УДК 512.544.43:512.543.12 |
Д. Г. Храмцов |
Доказывается, что произвольный нетривиальный эндоморфизм группы ${\rm Aut}F_{n}$ автоморфизмов свободной группы $F_{n}$ при $n\geqslant 3$ является либо автоморфизмом, либо факторизацией по подгруппе собственных автоморфизмов. Эндоморфизм ${\rm Aut}F_{2}$ является либо автоморфизмом, либо гомоморфизмом на одну из групп $S_{3}$, $D_{8}$, $Z_{2}\times Z_{2}$, $Z_{2}$, $S_{3}\ast _{Z_{2}}(Z_{2}\times Z_{2})$. Нетривиальный гомоморфизм группы ${\rm Aut}F_{n}$ в ${\rm Aut}F_{m}$, при $n\geqslant 3$, $m\geqslant 2$, $n > m$, является гомоморфизмом на $Z_{2}$ с ядром ${\rm SAut}F_{n}$. В качестве следствия получается, что ${\rm Aut}F_{n}$ кохопфова. |
Ключевые слова: эндоморфизм, группа автоморфизмов, свободная группа. |
Адрес автора: Храмцов Дмитрий Геннадьевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. Тел.: (3832) 33-34-95. e-mail: khramtso@math.nsc.ru |
УДК 512.54.01 |
С. А. Шахова |
О решётках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп, 238—251. |
Пусть $\mathcal{M}$ — произвольное квазимногообразие абелевых групп, ${\rm dom}^{\mathcal{M}}_{G}(H)$ — доминион подгруппы $H$ группы $G$ в квазимногообразии $\mathcal{M}$, $L_{q}(\mathcal{M})$ — решётка подквазимногообразий квазимногообразия $\mathcal{M}$. Доказывается, что ${\rm dom}^{\mathcal{M}}_{G}(H)$ совпадает с наименьшей нормальной подгруппой группы $G$, содержащей $H$, фактор-группа по которой из $\mathcal{M}$. Находятся условия, при которых множество $L(G,H,\mathcal{M})=\{ {\rm dom}^{\mathcal{N}}_{G}(H)\mid \mathcal{N}\in L_{q}(\mathcal{M})\}$ образует решётку относительно теоретико множественного включения, а отображение $\varphi : L_{q}(\mathcal{M})\rightarrow L(G,H,\mathcal{M})$, при котором $\varphi (\mathcal{N})= {\rm dom}^{\mathcal{N}}_{G}(H)$ для любого квазимногообразия $\mathcal{N}\in L_{q}(\mathcal{M})$, является антигомоморфизмом решетки $L_{q}(\mathcal{M})$ на решётку $L(G,H,\mathcal{M})$. |
Ключевые слова: квазимногообразие, доминион, решётка, группа. |
Адрес автора: Шахова Светлана Александровна, пр-т. Социалистический, д. 59, кв. 94, г. Барнаул, 656049, Россия. Тел.: (3852) 26-25-08. e-mail: ssa@math.dcn-asu.ru |