УДК 510.53+510.67

А. Н. Гаврюшкин

Сложность эренфойхтовых моделей, 507—519.

Исследуются примеры эренфойхтовых теорий, обладающих конструктивными моделями и счётными моделями разной сложности, а также оценивается сложность эренфойхтовых теорий, имеющих конструктивные модели.

Ключевые слова: эренфойхтова теория, конструктивная модель.

Адрес автора: Гаврюшкин Александр Николаевич, Ин-т матем. СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: ang@math.nsc.ru

УДК 512.54

С. А. Зюбин

Сопряжённо плотные подгруппы свободных произведений групп с объединённой подгруппой, 520—537.

Подгруппа, имеющая непустое пересечение с каждым классом сопряжённых элементов группы, называется сопряжённо плотной. Показывается, что при определённых условиях число сопряжённо плотных подгрупп в свободном произведении с объединённой подгруппой не меньше, чем некоторый кардинал. Как следствие, опровергается предположение П. Ноймана из "Коуровской тетради" (вопрос 6.38). Устанавливается также, что модулярная группа и неабелева свободная группа счётного или конечного ранга обладают континуумом попарно не сопряжённых между собой сопряжённо плотных подгрупп.

Ключевые слова: линейная группа, свободное произведение с объединённой подгруппой, сопряжённо плотная подгруппа, поле с дискретным нормированием.

Адрес автора: Зюбин Сергей Александрович, ф-т естеств. н. матем., Томский политех. ун-т, пр. Ленина, 30, г. Томск, 634050, Россия. e-mail: sergey.zyubin@gmail.com

УДК 510.53

В. Калверт, В. С. Харизанова, Д. Ф. Найт, С. Миллер

Индексные множества вычислимых моделей, 538—574.

Индексным множеством вычислимой модели $\mathcal{A}$ называется множество индексов вычислимых копий $\mathcal{A}$. Определяется сложность индексного множества различных математически интересных моделей, включая различные конечные модели, $\mathbb{Q}$-векторные пространства, архимедовы вещественно замкнутые упорядоченные поля, редуцированные абелевы $p$-группы длины менее $\omega^{2}$ и модели исходной теории Эренфойхта. Все индексные множества для этих моделей оказываются $m$-полными в классах $\Pi_{n}^{0}$, $d-\Sigma_{n}^{0}$ или $\Sigma_{n}^{0}$ для различных $n$. В каждом случае находится оптимальное предложение (т. е. предложение простейшего вида), которое описывает модель. Вид предложения (вычислимое $\Pi_{n}$, $d-\Sigma_{n}$ или $\Sigma_{n}$) явно задаёт сложность индексного множества. При проверке $m$-полноты индексного множества искомое предложение является оптимальным. Для некоторых моделей первое естественно возникающее предложение не является оптимальным. В таком случае доказывается, что другое предложение более простой формы подходит для наших целей, при этом для некоторых групп требуется теория Рамсея.

Ключевые слова: индексное множество, вычислимая модель, векторное пространство, архимедово вещественно замкнутое упорядоченное поле, редуцированная абелева $p$-группа, теория Эренфойхта.

Адреса авторов: Calvert, Wesley, Dep. Math. Stat., Murray State Univ., USA. e-mail: wesley.calvert@murraystate.edu

Harizanov, Valentina S., Dep. Math., George Washington Univ., USA. e-mail: harizanv@gwu.edu

Knight, Julia F., Math. Dep., Univ. Notre Dame, USA. e-mail: knight.1@nd.edu

Miller, Sara, Math. Dep., Univ. Notre Dame, USA. e-mail: smiller9@nd.edu

УДК 512.54

Н. Ю. Макаренко, Е. И. Хухро

Конечные группы с почти регулярным автоморфизмом порядка четыре, 575—602.

Даётся положительный ответ на вопрос П. Шумяцкого 11.126 из "Коуровской тетради": доказывается существование таких константы $c$ и функции натурального аргумента $f(m)$, что если конечная группа $G$ допускает автоморфизм $\varphi$ порядка 4, имеющий ровно $m$ неподвижных точек, то она обладает нормальным рядом $G\geqslant H\geqslant N$, в котором $|G/H|\leqslant f(m)$, фактор-группа $H/N$ нильпотентна ступени $\leqslant 2$, а подгруппа $N$ нильпотентна ступени $\leqslant c$ (теорема 1). В качестве следствия получается, что локально конечная группа $G$, содержащая элемент порядка 4 с конечным централизатором порядка $m$, обладает таким же рядом, как в теореме 1. Теорема 1 обобщает теорему Ковача о локально конечных группах с регулярным автоморфизмом порядка 4, по которой такие группы центрально-метабелевы. Ранее первым автором была доказана почти центрально-метабелевость конечной 2-группы с почти регулярным автоморфизмом порядка 4. Доказательство теоремы 1 опирается на предыдущие работы авторов о кольцах Ли с почти регулярным автоморфизмом порядка 4. Сведение к нильпотентным группам осуществляется с помощью теорем типа Холла–Хигмэна. Используется представляющая независимый интерес теорема 2: если конечная группа $S$ содержит $c$-ступенно нильпотентную подгруппу $T$ индекса $|S:T|=n$, то она содержит также характеристическую подгруппу ступени нильпотентности $\leqslant c$, индекс которой ограничен в терминах $n$ и $c$. Ранее такое утверждение было известно для абелевых подгрупп, то есть для $c=1$.

Ключевые слова: конечная группа, почти регулярный автоморфизм, кольцо Ли, ступень нильпотентности, централизатор, теоремы типа Холла–Хигмэна, характеристическая подгруппа.

Адреса авторов: Макаренко Наталья Юрьевна, Ин-т матем. СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: makarenk@math.nsc.ru

Хухро Евгений Иванович, Ин-т матем. СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: khukhro@cardiff.ac.uk

УДК 519.14

А. А. Махнёв, М. С. Нирова

Узкие частичные четырёхугольники и их автоморфизмы, 603—619.

Частичным четырёхугольником $PQ(s,t,\mu)$ называется система инцидентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждая прямая содержит $s+1$ точку, каждая точка лежит на $t+1$ прямой (две прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и пересечение окрестностей любых двух несмежных точек в графе коллинеарности является $\mu$-кокликой. Даётся классифиция частичных четырёхугольников $PQ(s,t,\mu)$ с $t\leqslant 6$ и изучаются их автоморфизмы.

Ключевые слова: частичный четырёхугольник, система инцидентности, автоморфизм.

Адреса авторов: Махнёв Александр Алексеевич, Ин-т матем. мех. УрО РАН, ул. С. Ковалевской, 16, г. Екатеринбург, 620219, Россия. e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Нирова Марина Сефовна, Ин-т матем. мех. УрО РАН, ул. С. Ковалевской, 16, г. Екатеринбург, 620219, Россия. е-mail: nirova_m@mail.ru

УДК 512.542

В. Г. Сафонов

Об алгебраичности решётки всех $\tau$-замкнутых тотально насыщенных формаций, 620—626.

Доказывается, что решётка всех $\tau$-замкнутых тотально насыщенных формаций конечных групп является алгебраической.

Ключевые слова: формация конечных групп, тотально насыщенная формация, решётка формаций.

Адрес автора: Сафонов Василий Григорьевич, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины, ул. Советская, д. 106, кв. 146, г. Гомель, 246028, Белоруссия. Тел.: (375 232) 57-82-58, (375 232) 57-01-47. e-mail: vsafonov@gsu.unibel.by