УДК 510.53+510.67

А. Н. Гаврюшкин

Спектры вычислимых моделей эренфойхтовых теорий, 275−289.

Строится пример теории с конечным (большим единицы) числом типов изоморфизма счётных моделей такой, что её простая и насыщенная модели обладают вычислимыми представлениями и существует модель, таковым представлением не обладающая.

Ключевые слова: эренфойхтова теория, счётная модель, вычислимое представление модели.

Адрес автора: Гаврюшкин Александр Николаевич, Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: ang@math.nsc.ru

512.543.7+512.543.16

А. А. Клячко

Свободные подгруппы относительных копредставлений с одним соотношением, 290−298.

Пусть $G$ − нетривиальная группа без кручения, а $w$ − произвольное слово в алфавите $G\cup\{x_1^{\pm1},\ldots,x_n^{\pm1}\}$. Доказывается, что при $n\geqslant 2$ группа $\widetilde{G}=\langle G,x_1,x_2,\ldots,x_n\mid w=1\rangle$ всегда содержит неабелеву свободную подгруппу. При $n=1$ на вопрос о наличии свободных подгрупп в $\widetilde{G}$ удаётся полностью ответить в унимодулярном случае (т. е. когда сумма показателей при $x_1$ в слове $w$ равна единице). Обсуждаются также некоторые обобщения этих результатов.

Ключевые слова: относительные копредставления, группы с одним соотношением, свободные подгруппы.

Адрес автора: Клячко Антон Александрович, каф. высшей алгебры мех.-матем. ф-та, Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, Ленинские горы, г. Москва, 119992, Россия. Тел.: 939-16-11 (раб.), 159-30-84 (дом.). e-mail: klyachko@daniil.math.msu.su

УДК 510.5

С. Ю. Подзоров

Универсальная лахлановская полурешётка без наибольшего элемента, 299−345.

Исследуются некоторые верхние полурешётки $m$-степеней и нумераций конечных семейств. Доказывается, что полурешётка всех вычислимо перечислимых $m$-степеней, из которой удалили наибольший элемент, изоморфна полурешётке простых $m$-степеней, полурешётке гиперпростых $m$-степеней и полурешётке $\Sigma^0_2$-вычислимых нумераций конечного семейства $\Sigma^0_2$-множеств, которое содержит более одного элемента и не содержит сравнимых по включению элементов.

Ключевые слова: верхняя полурешётка, дистрибутивная полурешётка, $m$-степень, нумерация, полурешётка Роджерса, лахлановская полурешётка.

Адрес автора: Подзоров Сергей Юрьевич, Ин-т матем. СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: podz@math.nsc.ru

УДК 510.67

М. А. Русалеев

Характеризация $(p,1)$-стабильных теорий, 346−359.

Даётся полное описание $(p,1)$-стабильных теорий в терминах определимой интерпретируемости в теории языка одноместных предикатов.

Ключевые слова: $(p,1)$-стабильная теория, определимая интерпретируемость.

Адрес автора: Русалеев Михаил Андреевич, Ин-т матем. СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. Тел.: 7-923-242-7008. e-mail: rusma@ngs.ru

УДК 512.54

А. И. Созутов

О группах с почти регулярной инволюцией, 360−368.

Инволюция $j$ группы $G$ называется почти совершенной в $G$, если любые две инволюции из $j^G$, порядок произведения которых бесконечен, сопряжены при помощи подходящей инволюции из $j^G$. Пусть группа $G$ содержит почти совершенную инволюцию $j$ и $|C_G(j)|<\infty$. Тогда справедливы следущие утверждения:
1) $[j,G]$ содержится в $FC$-радикале группы $G$ и $|G:[j,G]|\leqslant |C_G(j)|$;
2) коммутант $FC$-радикала группы $G$ конечен;
3) $FC(G)$ содержит нормальную в $G$ нильпотентную класса $2$ подгруппу конечного индекса.

Ключевые слова: группа, почти регулярная инволюция, почти совершенная инволюция.

Адрес автора: Созутов Анатолий Ильич, КрасГАСА, кафедра ВМ, пр. Свободный, 82, г. Красноярск, 660041, Россия. e-mail: Sozutov_AI@mail.ru

УДК 510.223

С. Шелах, Л. Штрюнгман

О $p$-ранге ${\rm Ext}_{{\mathbb Z}}(G,{\mathbb Z})$ в некоторых моделях $ZFC$, 369−397.

Если предположение о существования суперкомпактного кардинала совместно с теорией $ZFC$, то с теорией $ZFC$ совместно утверждение о том, что $p$-ранг модуля ${\rm Ext}_{{\mathbb Z}}(G,{\mathbb Z})$ принимает наибольшие возможные значения для любого простого $p$ и произвольной абелевой группы $G$ без кручения. Более того, для несчётного строго предельного кардинала $\mu$ счётной конфинальности и разбиения $\Pi$ (множество простых чисел) на два непересекающихся множества $\Pi_0$ и $\Pi_1$ в некоторой модели, близкой к $ZFC$, показывается существование почти свободной абелевой группы $G$ мощности $2^{\mu}=\mu^+$ такой, что $p$-ранг модуля ${\rm Ext}_{{\mathbb Z}}(G,{\mathbb Z})$ равен $2^{\mu}=\mu^+$ при любом $p \in \Pi_0$ и равен $0$ в противном случае, т. е. при $p \in \Pi_1$.

Ключевые слова: теория $ZFC$, суперкомпактный кардинал, строго предельный кардинал, абелева группа без кручения, почти свободная абелева группа.

Адреса авторов: Shelah Saharon, Dep. Math., The Hebrew Univ. Jerusalem, Israel, and Rutgers Univ., New Brunswick, NJ USA. e-mail: Shelah@math.huji.ac.il

Strüngmann Lutz, Dep. Math., Univ. Duisburg-Essen, 45117 Essen, Germany. e-mail: lutz.struengmann@uni-due.de
Current address: Dep. Math., Univ. Hawaii, 2565 McCarthy Mall, Honolulu, HI 96822-2273, USA, e-mail: lutz@math.hawaii.edu