УДК 512.54

Э.Вентура, В.А.Романьков

Проблема скрученной сопряжённости для эндоморфизмов метабелевых групп, 157—173.

Пусть $M$ — конечно порождённая метабелева группа, эффективно заданная в многообразии ${\cal A}^2$ всех метабелевых групп. Строится алгоритм, который для любого эндоморфизма $\varphi\in {\rm End}(M)$, тождественного по модулю абелевой нормальной подгруппы $N$, содержащей коммутант $M'$, и любой пары элементов $u,v\in M$ определяет разрешимость в $M$ уравнения $(x\varphi )u = v x$. Тем самым, проблема скрученной сопряжённости для эндоморфизмов метабелевых групп при сделанных предположениях алгоритмически разрешима. Более того, проблема скрученной сопряжённости в любой полициклической метабелевой группе $M$ будет разрешима для произвольного эндоморфизма $\varphi\in {\rm End}(M)$.

Ключевые слова: метабелева группа, скрученная сопряжённость, эндоморфизм, неподвижные точки, производные Фокса.

Адреса авторов: Ventura, Enric, Univ. Politècnica de Catalunya, Av. Bases de Manresa 61-73, 08 242—Manresa, Barcelona, Spain. e-mail: enric.ventura@upc.edu

Романьков Виталий Анатольевич, Омский гос. ун-т им. Ф.М.Достоевского, пр. Мира, 55-А, г. Омск, 644077, Россия. e-mail: romankov48@mail.ru

УДК 512.5

Ф.Грюневальд, Г.А.Носков

Большие гиперболические решётки, 174—189.

Для фундаментальной группы компактного ориентируемого многообразия приводится достаточное условие, гарантирующее наличие "`виртуального"' эпиморфизма на свободную неабелеву группу. В качестве следствия получается "`сильная альтернатива Титса"': произвольная некокомпактная конечно порождённая дискретная подгруппа в ${\rm PO }(3, 1)$ является либо большой, либо почти абелевой. Даётся приложение к проблеме равномерно экспоненциального роста для решёток в 3-мерном гиперболическом пространстве и о росте чисел Бетти для решёток в $n$-мерных гиперболических пространствах, где $n$ — нечётное число.

Ключевые слова: фундаментальная группа, компактное ориентируемое многообразие, дискретная подгруппа, гиперболическая решётка, проблема равномерно экспоненциального роста.

Адреса авторов: Grunewald, Fritz, Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universitat, Universitatsstrasse 1, 40225 Duesseldorf, Germany. e-mail: grunewald@math.uni-duesseldorf.de

Носков Геннадий Андреевич, Омский ф-л Ин-та матем. им. С.Л.Соболева СО РАН, ул. Певцова, 13, г. Омск, 644099, Россия. e-mail: g.noskov@gmail.com

УДК 512.5

Д.В.Лыткина, В.Д.Мазуров

О группах, содержащих сильно вложенную подгруппу, 190—202.

Инволюция $v$ группы $G$ называется конечной (в $G$), если $vv^g$ имеет конечный порядок для любого $g\in G$. Подруппа $B$ группы $G$ называется сильно вложенной (в $G$) подгруппой, если $B$ и $G\setminus B$ содержат инволюции, а $B\cap B^g$ не содержит инволюций для любого $g\in G\setminus B$.
Доказывается, что имеют место следующие результаты.

Теорема 1. Пусть группа $G$ содержит конечную инволюцию и инволюцию с периодическим централизатором. Если каждая конечная подгруппа чётного порядка из $G$ содержится в простой подгруппе, изоморфной $L_2(2^m)$ или $Sz(2^m)$ для некоторого $m$, то $G$ изоморфна $L_2(Q)$ или $Sz(Q)$ для некоторого локально конечного поля $Q$ характеристики 2. В частности, $G$ локально конечна.

Теорема 2. Пусть группа $G$ содержит конечную инволюцию и сильно вложенную подгруппу. Если централизатор некоторой инволюции в $G$ является 2-группой и каждая конечная подгруппа чётного порядка из $G$ содержится в конечной неабелевой простой подгруппе группы $G$, то $G$ изоморфна $L_2(Q)$ или $Sz(Q)$ для некоторого локально конечного поля $Q$ характеристики 2.

Ключевые слова: сильно вложенная подгруппа, инволюция, централизатор.

Адреса авторов: Лыткина Дарья Викторовна, Новосибирский гос. ун-т, Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: daria.lytkin@gmail.com

Мазуров Виктор Данилович, Ин-т матем. им. С.Л.Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: mazurov@math.nsc.ru

УДК 512.5

А.Г.Мясников, М.Сохраби

О группах, элементарно эквивалентных свободной 2-нильпотентной группе конечного ранга, 203—244.

Даётся описание групп, элементарно эквивалентных свободной 2-нильпотентной группе конечного ранга.

Ключевые слова: 2-нильпотентная группа конечного ранга, элементарно эквивалентные группы.

Адреса авторов: Miasnikov, Alexei, Dep. Math. and Stat., McGill Univ., Montreal, Canada. e-mail: alexeim@math.mcgill.ca

Sohrabi, Mahmood, Dep. Math., Carleton Univ., Ottawa, Canada. e-mail: msohrabi@math.carleton.ca

УДК 512.5

А.Ю.Ольшанский, М.В.Сапир

О $F_k$-подобных группах, 245—257.

В настоящей заметке доказываются следующие результаты.

Теорема 1. Существуют как конечно определённые, так и не конечно определённые 2-порождённые несвободные группы, которые $F_k$-подобны для любого $k\geqslant 2$.

Теорема 2. Каждая не почти циклическая (соответственно, нециклическая и без кручения) гиперболическая $m$-порождённая группа $F_k$-подобна для всякого $k\geqslant m+1$ (соответственно, $k\geqslant m$).

Теорема 3. Существует 2-порождённая периодическая группа $G$, которая $F_k$-подобна для всякого $k \geqslant 3$.

Ключевые слова: $F_k$-подобные группы.

Адреса авторов: Ольшанский Александр Юрьевич, Dep. Math., Vanderbilt Univ., Nashville, TN 37240, USA; мех.-матем. ф-т МГУ, г. Москва, 119899, Россия. e-mail: alexander.olshanskiy@vanderbilt.edu

Сапир Марк Валентинович, Dep. Math., Vanderbilt Univ., Nashville, TN 37240, USA. e-mail: m.sapir@vanderbilt.edu

УДК 512.5

Н.С.Романовский

Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп, 258—279.

Группа $G$ называется жёсткой, если в ней существует нормальный ряд
$$G=G_1 > G_2 >\ldots > G_m > G_{m+1}=1,$$
факторы которого $G_i/G_{i+1}$ абелевы и, как правые $Z[G/G_i]$-модули, не имеют кручения. Свойства таких групп изучены, в частности, показано, что упомянутый ряд определяется группой однозначно. Известно, что конечно порождённые жёсткие группы нётеровы по уравнениям, т.е. для любого $n$ всякая система уравнений от $x_1,\ldots ,x_n$ над данной группой эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Этот факт равносилен нётеровости топологии Зарисского на $G^n$, что позволило ранее построить теорию размерности в алгебраической геометрии над конечно порождёнными жёсткими группами. Доказывается, что любая жёсткая группа нётерова по уравнениям.

Ключевые слова: жёсткая группа, нётеровость по уравнениям.

Адрес автора: Романовский Николай Семёнович, Ин-т матем. им. С.Л.Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: rmnvski@math.nsc.ru