Сергей Савостьянович Гончаров (ко дню 60-летия)

УДК 512.623.4

Ю. Л. Ершов

Обобщения леммы Гензеля и метод ближайшего корня, 701—706.

Лемма Гензеля и её различные модификации, такие, напр., как теорема Гензеля—Рихлика, являются важными средствами исследования проблем существования корней многочленов нормированных полей. Показывается, что метод, предложенный ранее в работах автора, может быть использован и для более простого получения результатов С. Хандужа [J. Pure Appl. Algebra, 214, No. 12 (2010), 2294—2300].

Ключевые слова: лемма Гензеля, нормированное поле, корень многочлена.

Адрес автора: Ершов Юрий Леонидович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: ershov@math.nsc.ru

УДК 510.52

Дж. Карсон, Е. Фокина, В. Харизанова, Дж. Ф. Найт, С. Куинн, К. Сафрански, Дж. Воллбаум

Вычислимая проблема вложимости, 707—732.

Калверт вычислил сложность проблемы изоморфизма для вычислимых структур в нескольких известных классах. Розендаль предложил, что аналогичные исследования могут быть интересными для проблемы вложимости вычислимых структур. Под вычислимой проблемой изоморфизма и вычислимой проблемой вложимости мы понимаем сложность определения существования изоморфизма или вложения между двумя вычислимыми моделями из некоторого класса. Для таких классов, как $\mathbb{Q}$-векторные пространства и линейные порядки, обе проблемы имеют одинаковую сложность. Более того, вычисления фактически совпадают. Для других классов существуют различия. Находятся примеры, в которых проблема вложимости тривиальна (внутри класса), тогда как проблема изоморфизма имеет более высокую сложность. Кроме того, строится пример, в котором проблема вложимости имеет более высокую сложность, чем проблема изоморфизма.

Ключевые слова: вычислимая структура, вычислимая проблема изоморфизма, вычислимая проблема вложимости.

Адрес автора: Carson, Jacob, e-mail: jcarson3@alumni.nd.edu

Fokina, Ekaterina, Kurt Gödel Res. Center Math. Log., Univ. Vienna, Waehringerstrasse 25, 1090 Vienna, Austria. e-mail: efokina@logic.univie.ac.at

Harizanov, Valentina, Dep. Math., George Washington Univ., 2115 G St., NW, Washington, D.C. 20052, USA. e-mail: harizanv@gwu.edu

Knight, Julia, Dep. Math., Univ. Notre Dame, 255 Hurley, Notre Dame, IN 46556, USA. e-mail: knight.1@nd.edu

Quinn, Sara, Dep. Math., Dominican Univ., 7900 W Division Street, River Forest, IL 60305, USA. e-mail: squinn@dom.edu

Safranski, Christina, Saint Vincent College, 300 Fraser Purchase Road, Latrobe, PA 15650-2690, USA. e-mail: christina.safranski@email.stvincent.edu

Wallbaum, John, e-mail: jwallbau@alumni.nd.edu

УДК 510.5

И. А. Лавров

Вычислимо перечислимые множества и смежные вопросы, 733—758.

Одним из самых актуальных направлений в теории алгоритмов является изучение сводимостей арифметических множеств. Пост ввёл понятия $m$-, $tt$-, $T$-сводимостей арифметических множеств, позднее рассматривались и другие виды. В настоящее время очень интенсивно исследуется $T$-сводимость. Здесь получен ряд замечательных результатов. Однако многие вопросы, связанные с $T$-сводимостью, ждут своего решения. Меньше результатов известно для $tt$-сводимости. Что касается $m$-сводимости, то для неё в ряде направлений получены, особенно если ограничиваться лишь вычислимо перечислимыми множествами, исчерпывающие решения. В данном обзоре рассматриваются различные аспекты, связанные с вычислимо перечислимыми множествами и $m$-сводимостью. Среди рассмотренных вопросов: алгебраическое описание строения этих структур, как в их верхних, так и в нижних частях, определимость, проблемы разрешения и прочее. Многие из указанных в статье результатов содержатся в разных источниках. Это не позволяет представить общую картину и спектр имеющихся исследований. Следует отметить, что ряд из этих книг и статей малодоступны для отечественных специалистов.

Ключевые слова: вычислимо перечислимое множество, $m$-сводимость.

УДК 510.532

М. Манат, А. Сорби

Позитивные неразрешимые нумерации в иерархии Ершова, 759—780.

Приводится достаточное условие, при котором бесконечное вычислимое семейство $\Sigma^{-1}_a$-множеств имеет вычислимые позитивные, но неразрешимые нумерации, здесь $a$ обозначает ненулевой вычислимый ординал. Это обобщает теорему Таласбаевой [Алгебра и логика, 42, № 6 (2003), 737—746], доказанную для конечных уровней иерархии Ершова. Как следствие устанавливается, что семейство всех $\Sigma^{-1}_a$-множеств имеет вычислимую позитивную неразрешимую нумерацию. Кроме того, для каждого ординального обозначения $a>1$ строится бесконечное семейство $\Sigma^{-1}_a$-множеств, обладающее вычислимой позитивной нумерацией, но не имеющей вычислимых фридберговых нумераций. Это даёт ответ на вопрос Бадаева—Гончарова о существовании таких семейств на любом уровне иерархии Ершова (будь то конечном или бесконечном), поставленный ими только для конечных уровней иерархии Ершова выше уровня 1.

Ключевые слова: иерархия Ершова, позитивная неразрешимая нумерация.

Адрес автора: Манат Мустафа, Казахский нац. ун-т им. аль-Фараби, пр. аль-Фараби, 71, г. Алма-Ата, 050038, Казахстан. \noindent e-mail: Manat.Mustafa@kaznu.kz

Sorbi, Andrea, Dip. Sci. Matem. Inform. ``Roberto Magari'', Pian del Mantellini, 44, 53100 Siena, Italy. e-mail: sorbi@unisi.it

УДК 512.552.13

Л. М. Мартынов

Наследственно чистые ассоциативные алгебры над дедекиндовым кольцом, максимальные идеалы которого имеют конечные индексы, 781—801.

Доказывается, что алгебра над дедекиндовым кольцом, максимальные идеалы которого имеют конечные индексы, является наследственно чистой тогда и только тогда, когда она представима в виде прямой суммы элементарной абелевой и элементарной джекобсоновской алгебр.

Ключевые слова: дедекиндово кольцо, ассоциативная алгебра, наследственно чистая алгебра, элементарная абелева алгебра, элементарная джекобсоновская алгебра.

Адрес автора: Мартынов Леонид Матвееевич, Омский гос. пед. ун-т, кафедра алгебры, наб. Тухачевского, 14, г. Омск, 644099, Россия. e-mail: mart@omsk.edu, l.m.martynov@yandex.ru

УДК 512.54.05

А. Г. Мясников, Н. С. Романовский

Об универсальных теориях жёстких разрешимых групп, 802—821.

Группа называется $p$-жёсткой, где $p$ — натуральное число, если в ней существует нормальный ряд
$$G=G_1 > G_2 > \ldots > G_p > G_{p+1}=1,$$
факторы которого $G_i/G_{i+1}$ абелевы и, рассматриваемые как $\mathbb{Z} [G/G_i]$-модули, не имеют модульного кручения. Примерами жёстких групп являются свободные разрешимые группы. Указывается рекурсивная система универсальных аксиом, выделяющая в классе $p$-ступенно разрешимых групп $p$-жёсткие группы. Доказывается, что если $F$ — свободная $p$-ступенно разрешимая группа, $G$ — произвольная $p$-жёсткая группа, и $W$ — итерированное сплетение $p$ штук бесконечных циклических групп, то для $\forall$-теорий этих групп имеют место включения
$${\cal A}(F) \supseteq {\cal A}(G) \supseteq {\cal A}(W).$$
Строится $\exists$-аксиома, выделяющая среди $p$-жёстких групп те, которые универсально эквивалентны $W$. Произвольная $p$-жёсткая группа вкладывается в делимую распавшуюся $p$-жёсткую группу $M=M(\alpha_1, \ldots,\alpha_p)$. Последняя разлагается в полупрямое произведение абелевых групп $A_1A_2 \ldots A_p$, при этом каждый фактор $M_i/M_{i+1}$ её жёсткого ряда изоморфен $A_i$ и является делимым модулем ранга $\alpha_i$ над кольцом $\mathbb{Z} [M/M_i]$. Указывается рекурсивная система аксиом, выделяющая среди $M$-групп те, которые $M$-универсально эквивалентны группе $M$. Отсюда выводится, что универсальная теория группы $M$ с константами из $M$ разрешима. В отличие от этого универсальная теория с константами группы $W$ неразрешима.

Ключевые слова: $p$-жёсткая группа, универсальная теория группы, разрешимая теория.

Адрес автора: Мясников Алексей Георгиевич, Schaefer School of Engineering and Science, Department of Mathematical Sciences, Stevens Institute of Technology, Castle Point on Hudson, Hoboken NJ 07030-5991, USA.

Романовский Николай Семёнович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ.
e-mail: rmnvski@math.nsc.ru

УДК 512.563

Д. Е. Пальчунов, А. В. Трофимов

Локальные и неисчезающие суператомные булевы алгебры с выделенной плотной подалгеброй, 822—847.

Даётся описание локальных и неисчезающих локальных суператомных булевых алгебр с одной выделенной плотной подалгеброй конечной ширины.

Ключевые слова: булева алгебра с выделенной подалгеброй, плотная подалгебра конечной ширины.

Адрес автора: Пальчунов Дмитрий Евгеньевич, Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: dpulch@math.nsc.ru

Трофимов Александр Викторович, e-mail: tr0f@mail.ru