УДК 512.563+510.5+510.6

Н. А. Баженов, Р. Р. Тухбатуллина

О вычислимой категоричности булевой алгебры $\mathfrak{B}(\omega)$ с выделенным автоморфизмом, 131—144.

Доказывается, что любая вычислимо перечислимая тьюрингова степень является степенью категоричности некоторой вычислимой булевой алгебры с выделенным автоморфизмом. Строится пример вычислимо категоричной булевой алгебры с выделенным автоморфизмом, имеющей множество атомов заданной вычислимо перечислимой тьюринговой степени.

Ключевые слова: булева алгебра с выделенным автоморфизмом, вычислимая категоричность, спектр категоричности, степень категоричности.

Адреса авторов: Баженов Николай Алексеевич, Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: nickbazh@yandex.ru

Тухбатуллина Регина Расимовна, CERGE—EI, a joint workplace of Charles Univ. and Economics Inst. Acad. Sci. Czech Repub., Politických vězňů, 7, 11121 Prague, Czech republic. e-mail: regina88@bk.ru

УДК 512.552

А. Л. Канунников

Об одном применении метода ортогональной полноты в теории градуированных колец, 145—154.

Метод ортогональной полноты разработали К. И. Бейдар и А. В. Михалёв в 1970-х гг. Изначально метод применялся в теории колец и использовался главным образом для вывода теорем о полупервичных кольцах путём редукции к случаю первичных колец. В 1980-х годах эти авторы развили теорию ортогональной полноты произвольных алгебраических систем. Теория ортогональной полноты применяется к градуированным по группе кольцам. Для применения теорем об ортогональной полноте Бейдара—Михалёва градуированное кольцо рассматривается как алгебраическая система с сигнатурой кольца, дополненной операциями взятия однородных компонент и предикатами однородности. Доказывается градуированный аналог теоремы Херстейна о первичных кольцах с дифференцированием и его обобщение на полупервичные кольца с помощью метода ортогональной полноты. Доказывается, что всякое однородное дифференцирование градуированного кольца продолжается до однородного дифференцирования его полного правого градуированного кольца частных.

Ключевые слова: градуированные кольца частных, ортогональная полнота, кольца с дифференцированием.

Адрес автора: Канунников Андрей Леонидович, мех.-матем. ф-т, каф. высш. матем., Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия. e-mail: andrew.kanunnikov@gmail.com

УДК 512.57+515.2

М. В. Котов

О топологизируемости счётных нётеровых по уравнениям алгебр, 155—171.

Доказывается, что произвольная нётерова по уравнениям счётная алгебра $\mathcal{A}=\left\langle A,L_A\right\rangle$ счётного языка является топологизируемой. Кроме того, показывается, что отсюда вытекают некоторые известные утверждения о топологизируемости.

Ключевые слова: нётерова по уравнениям алгебра, топологизируемая алгебра.

Адрес автора: Котов Матвей Владимирович, Омский фил. Ин-та матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, ул. Певцова, 13, г. Омск, 644099, Россия. e-mail: matvej.kotov@gmail.com

УДК 510.64

Л. Л. Максимова

Проективное свойство Бета в стройных логиках, 172—202.

Доказывается разрешимость проблемы интерполяции и определимости по Бету в стройных логиках, т. е. в расширениях минимальной логики ${\rm J}$ Йохансона, удовлетворяющих аксиоме $(\bot\rightarrow A)\vee(A\rightarrow\bot)$. Ранее были описаны все ${\rm J}$-логики со слабым интерполяционным свойством ${\rm WIP}$ и доказана разрешимость ${\rm WIP}$ над ${\rm J}$.
Ранее было доказано, что лишь конечное число стройных логик обладает интерполяционным свойством Крейга ${\rm CIP}$ и ограниченным интерполяционным свойством ${\rm IPR}$; кроме того, ${\rm IPR}$ равносильно проективному свойству Бета ${\rm PBP}$ на классе стройных логик. Эти результаты применяются для доказательства разрешимости ${\rm IPR}$ и ${\rm PBP}$ в стройных логиках. Разрешимость ${\rm CIP}$ в стройных логиках доказана ранее. Таким образом, все основные варианты интерполяционного свойства и свойства Бета разрешимы на классе стройных логик.

Ключевые слова: проективное свойство Бета, интерполяционное свойство, стройная логика, разрешимость.

Адрес автора: Максимова Лариса Львовна,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия.
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: lmaksi@math.nsc.ru

УДК 512.552.4

Ю. Н. Мальцев, А. С. Кузьмина

Описание многообразий колец, в которых все конечные кольца имеют гамильтоновы графы делителей нуля, 203—218.

Графом делителей нуля ассоциативного кольца $R$ называется граф, вершинами которого являются все ненулевые делители нуля кольца (односторонние и двусторонние), причём две различные вершины $x,y$ соединяются ребром тогда и только тогда, когда $xy=0$ или $yx=0$. Даётся полное описание многообразий ассоциативных колец, в которых все конечные кольца имеют гамильтоновы графы делителей нуля. Кроме того, описываются конечные разложимые кольца с единицей, имеющие гамильтоновы графы делителей нуля.

Ключевые слова: граф делителей нуля, гамильтонов граф, многообразие ассоциативных колец, конечное кольцо.

Адреса авторов: Мальцев Юрий Николаевич, каф. алгебры и метод. обуч. матем., Алт. гос. педагог. акад., ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031, Россия. e-mail: maltsevyn@gmail.com

Кузьмина Анна Сергеевна, каф. алгебры и метод. обуч. матем., Алт. гос. педагог. акад., ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031, Россия. e-mail: akuzmina1@yandex.ru

УДК 512.544.33+512.54.05

А. А. Мищенко, А. В. Трейер

Алгоритмическая разрешимость проблемы универсальной эквивалентности частично коммутативных нильпотентных групп, 219—235.

Пусть $G_{\Gamma}$ — частично коммутативная группа, соответствующая конечному простому графу $\Gamma$. По конечному простому графу $T$ строится экзистенциальноая графовая формула $\phi(T)$. Описывается алгоритм, который отвечает на вопрос, выполняется ли формула $\phi(T)$ на группе $G_{\Gamma}$ для произвольного конечного простого графа $T$. Опираясь на этот алогоритм показывается, что проблема универсальной эквивалентности для частично коммутитвных двуступенно нильпотентных групп алгоритмически разрешима.

Ключевые слова: группа, частично коммутативная, нильпотентный, биномиальное кольцо, универсальная теория, выполнимость, разрешимость.

Адреса авторов: Мищенко Алексей Александрович,
Омский фил. Ин-та матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, ул. Певцова, 13, г. Омск, 644099, Россия.
Омский гос. техн. ун-т., пр. Мира, 11, г. Омск, 644050, Россия.
e-mail: alexei.mishenko@gmail.com

Трейер Александр Викторович,
Омский фил. Ин-та матем. им. С. Л. Соболева СO РАН, ул. Певцова, 13, г. Омск, 644099, Россия.
Омский гос. техн. ун-т., пр. Мира, 11, г. Омск, 644050, Россия.
e-mail: alexander.treyer@gmail.com

УДК 510.647+510.5

С. О. Сперанский

О схлопывании вероятностных иерархий. I, 236—254.

Изучаются иерархии проблем общезначимости для префиксных фрагментов вероятностной логики с кванторами по пропозициональным формулам, обозначаемой $\mathcal{QPL}$, и её вариантов. Доказывается: если подполе $\mathfrak{F}$ вещественных чисел определимо в стандартной модели арифметики посредством формулы второго порядка, не содержащей кванторов по множествам, то проблема общезначимости над $\mathfrak{F}$-значными вероятностными структурами для $\Sigma_4$-$\mathcal{QPL}$-предложений является $\Pi^1_1$-полной и, как следствие, соответствующая иерархия проблем общезначимости схлопывается. Более того, при доказательстве этого факта устанавливается $\Pi^1_1$-полнота $\exists\forall$-теории арифиметики Пресбургера с единственным свободным одноместным предикатом, что обобщает известный результат Хальперна, относящийся ко всей упомянутой теории.

Ключевые слова: вероятностная логика, кванторы по пропозициям, вычислительная сложность, выразительность.

Адрес автора: Сперанский Станислав Олегович, Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: katze.tail@gmail.com

УДК 510.67:512.57

Е. А. Палютин

Число $P$-обогащений абелевых групп, 255—258.

Адрес автора: Палютин Евгений Андреевич,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: palyutin@math.nsc.ru