DOI: 10.17377/alglog.2015.54.201

УДК 510.5

Н. А. Баженов

Теорема о ветвлении и вычислимая категоричность в иерархии Ершова, 137—157.

Исследуется вычислимая категоричность в иерархии Ершова. Рассматриваются $F_a$- и $G_a$-категоричные модели, введённые Б. Хусаиновым, Ф. Стефаном и Ю. Яном для $a$, являющихся обозначениями конструктивных ординалов. Доказывается обобщение теоремы о ветвлении для случая $F_a$-категоричных моделей. В качестве следствия получается описание $F_a$-категоричных моделей для классов булевых алгебр и абелевых $p$-групп. Кроме того, показывается, что теорему о ветвлении нельзя обобщить для случая $G_a$-категоричных моделей.

Ключевые слова: вычислимая категоричность, иерархия Ершова, $F_a$-категоричность, $G_a$-категоричность, ветвящаяся модель.

Адрес автора: Баженов Николай Алексеевич,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: nickbazh@yandex.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.202

УДК 512.542

Е. П. Вдовин

О строении групп, содержащих картерову подгруппу нечётного порядка, 158—162.

Пусть группа $G$ содержит картерову подгруппу нечётного порядка. Показывается, что любой композиционный фактор группы $G$ либо абелев, либо изоморфен $L_2(3^{2n+1})$, $n\ge1$. Более того, если $3$ не делит порядок картеровой подгруппы, то группа $G$ разрешима.

Ключевые слова: группа, картерова подгруппа нечётного порядка, композиционный фактор группы, разрешимая группа.

Адрес автора: Вдовин Евгений Петрович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: vdovin@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.203

УДК 510.5

С. С. Гончаров, М. И. Марчук

Индексные множества автоустойчивых относительно сильных конструктивизаций конструктивных моделей ограниченной сигнатуры, 163—192.

Даётся оценка алгоритмической сложности класса вычислимых моделей ограниченной сигнатуры, имеющих сильную конструктивизацию и автоустойчивых относительно сильных конструктивизаций.

Ключевые слова: модель, вычислимая модель, конструктивная модель, автоустойчивость, индексные множества.

Адреса авторов: Гончаров Сергей Савостьянович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: s.s.goncharov@math.nsc.ru

Марчук Маргарита Игоревна, Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: margaretmarchuk@gmail.com

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.204

УДК 512.5

Ч. К. Гупта, Н. С. Романовский

$\mathbb{Q}$-пополнения свободных разрешимых групп, 193—211.

Группа $G$ называется полной, если для любого натурального $n$ и любого элемента $g\in G$ в ней разрешимо уравнение $x^n=g$. В случае, когда в группе всякое такое уравнение имеет не более одного решения, говорят, что выполняется условие однозначности извлечения корня. Полную группу с однозначным извлечением корня можно рассматривать как $\mathbb{Q}$-степенную, поскольку в ней определяется операция возведения элемента в любую рациональную степень. Пусть группа $G$ вкладывается в полную группу $H$ с однозначным извлечением корня и последняя порождается множеством $G$ как $\mathbb{Q}$-группа, тогда $H$ называется $\mathbb{Q}$-пополнением $G$.
Доказывается, что всякая $m$-жёсткая группа $G$ независимо вкладывается в полную $m$-жёсткую группу. При указанном условии независимости вложения $\mathbb{Q}$-пополнение группы $G$ в классе жёстких групп определяется однозначно с точностью до $G$-изоморфизма. Устанавливается, что централизатор любого элемента независимого $\mathbb{Q}$-пополнения свободной разрешимой группы, не принадлежащего последнему нетривиальному члену жёсткого ряда этого пополнения, изоморфен аддитивной группе поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Ключевые слова: $m$-жёсткая группа, свободная разрешимая группа, $\mathbb{Q}$-пополнение.

Адреса авторов: Gupta Chander Kanta, Dep. Math., Univ. Manitoba, Winnipeg R3T 2N2, Canada.

Романовский Николай Семёнович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: rmnvski@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.205

УДК 510.5

Дж. Джонсон, Дж. Ф. Найт, В. Окасио, Д. Тусупов, С. ВанДенДрише

О сохранении категоричности и сложности отношений, 212—235.

В [Алгебра и логика, 16, № 3 (1977), 257-282; Ann. Pure Appl. Logic, 136, No. 3 (2005), 219-246; J. Symb. Log., 74, No. 3 (2009), 1047-1060] доказано, что для любого вычислимого ординала $\alpha$ существует структура, являющаяся $\Delta^0_{\alpha}$-категоричной, но не относительно $\Delta^0_{\alpha}$-категоричной. Первые примеры структур с таким свойством не принадлежали естественным алгебраическим классам. В [Ann. Pure Appl. Logic, 115, Nos. 1-3 (2002), 71-113] для $\alpha=1$ построены новые примеры структур с таким свойством, принадлежащие естественным классам, в том числе кольца и $2$-ступенно нильпотентные группы. Аналогичные примеры для всех вычислимых ординалов-последователей построены в [Алгебра и логика, 46, № 4 (2007), 514-524]. Эти исследования продолжаются для случая вычислимых предельных ординалов. Известен пример алгебраического поля, являющегося вычислимо категоричным, но не относительно вычислимо категоричным. Здесь показывается, что для любого вычислимого предельного ординала $\alpha>\omega$ существует поле, являющееся $\Delta^0_{\alpha}$-категоричным, но не относительно $\Delta^0_{\alpha}$-категоричным. Приводятся примеры, связанные с размерностью и сложностью отношений.

Ключевые слова: $\Delta^0_{\alpha}$-категоричная структура; структура, не являющаяся относительно $\Delta^0_{\alpha}$-категоричной, поле.

Адреса авторов: Johnson, Jesse W., Dept. of Math., Westfield State Univ., 577 Western Ave, Westfield, MA 01086-1630, USA. e-mail: jwjohnson@westfield.ma.edu

Knight, Julia, Dep. Math., Univ. Notre Dame, 255 Hurley, Notre Dame, IN 46556, USA. e-mail: knight.1@nd.edu

Ocasio-Gonzalez, Victor A., Dept. of Math. Sci., Univ. of Puerto Rico, PO Box 9000, Mayaguez, PR 00681-9000, USA. e-mail: victor.ocasio1@upr.edu

Тусупов Джамалбек, Евразийский нац. ун-т им. Л. Н. Гумилева, ул. Сатпаева, 2, г. Астана, Казахстан. e-mail: tussupov@mail.ru

VanDenDriessche, Steven, First Source Bank, South Bend, Indiana, USA. e-mail: smvandend@gmail.com

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.206

УДК 512.623.4

Ю. Л. Ершов

Как находить (вычислять) сепарант, 236—242.

Для произвольного (унитарного) многочлена $f$ над нормированным полем ${\mathbb{F}}=\langle F, R \rangle$ автор [Алгебра и логика, 53, № 6 (2014), 704-709] определил сепарант $\sigma_f$ этого многочлена как элемент группы нормирования $\Gamma_{R_0}$ для любого алгебраически замкнутого расширения ${\mathbb{F}_0}=\langle F_0, R_0\rangle\geqslant\mathbb{F}$. Сепарант использовался для получения обобщения леммы Гензеля. Приводится более алгебраический способ (по сравнению с полученным ранее) нахождения сепаранта.

Ключевые слова: нормированное поле, сепарант, лемма Гензеля.

Адрес автора: Ершов Юрий Леонидович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: ershov@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.207

УДК 512.542

В. Д. Мазуров, А. Ю. Ольшанский, А. И. Созутов

О бесконечных группах конечного периода, 243—251.

Доказывается существование периодических групп с элементами чётного порядка и только тривиальными нормальными 2-подгруппами, в которых любые две инволюции порождают 2-группу, что даёт отрицательный ответ на вопрос 11.11.а) из "`Коуровской тетради"'. Кроме того, указываются примеры конечных простых групп, распознаваемых по спектру в классе конечных групп, но не распознаваемых в классе всех групп.

Ключевые слова: периодическая группа, периодическое произведение, спектр группы, распознаваемость по спектру, теорема Бэра—Сузуки, модулярная группа.

Адреса авторов: Мазуров Виктор Данилович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: mazurov@math.nsc.ru

Ольшанский Александр Юрьевич, 1326 Stevenson Center, Vanderbilt University, Nashville, TN 37240, USA. e-mail: alexander.olshanskiy@vanderbilt.edu

Созутов Анатолий Ильич,
Сиб. федерал. ун-т, пр. Свободный, 79, г. Красноярск, 660041,
Сиб. гос. аэрокосм. ун-т им. ак. М. Ф. Решетнева, пр. газеты Красноярский рабочий, 31, г. Красноярск, 660037,
Россия.
e-mail: sozutov_ai@mail.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.208

УДК 510.64

Л. Л. Максимова, В. Ф. Юн

Узнаваемые логики, 252—274.

Исследуются расширения минимальной логики J Йохансона и проблема узнавания. Доказывается узнаваемость некоторых известных логик над J. Показывается узнаваемость над J всех стройных логик, обладающих интерполяционным свойством Крейга CIP, ограниченным интерполяционным свойством IPR или проективным свойством Бета PBP. Доказывается, что логика JF не является надежно узнаваемой над J. Кроме того, устанавливается связь алгебраической семантики с модифицированнной семантикой Крипке, а также приводится критерий надежной узнаваемости в терминах характеристических формул.

Ключевые слова: минимальная логика Йохансона, узнаваемость, надежная узнаваемость, интерполяционное свойство, характеристическая формула.

Адреса авторов: Максимова Лариса Львовна,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: lmaksi@math.nsc.ru

Юн Вета Фёдоровна,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: veta_v@mail.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.209

УДК 510.67:512.57

Е. А. Палютин

Теории $P$-обогащений абелевых групп, 275—282.

Адрес автора: Палютин Евгений Андреевич,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: palyutin@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.210

УДК 512.540+510.5

А. Н. Хисамиев

Универсальные функции над деревьями, 283—291.

Адрес автора: Хисамиев Асылхан Назифович, Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: hisamiev@math.nsc.ru