DOI: 10.17377/alglog.2015.54.501

УДК 510.5+510.6

П. Е. Алаев

Теорема Эша о $\Delta^{0}_{\alpha}$-категоричных структурах и признак бесконечной $\Delta^{0}_{\alpha}$-размерности, 551—574.

Одним из старых и классических результатов теории вычислимых структур является теорема Эша, которая говорит, что для любого вычислимого ординала $\alpha\geqslant 2$ вычислимая структура при выполнении ряда дополнительных условий является $\Delta^{0}_{\alpha}$-категоричной тогда и только тогда, когда у неё есть вычислимое $\Sigma_{\alpha}$-семейство Скотта. Строится контрпример, показывающий, что в доказательстве этой теоремы есть достаточно существенная ошибка, и показывается, как эту ошибку можно устранить путём перестройки доказательства. Кроме того, формулируется достаточное условие, при котором $\Delta^{0}_{\alpha}$-размерность вычислимой структуры является бесконечной.

Ключевые слова: вычислимая структура, теорема Эша, $\Delta^{0}_{\alpha}$-категоричная структура, $\Sigma_{\alpha}$-семейство Скотта, $\Delta^{0}_{\alpha}$-размерность вычислимой структуры.

Адрес автора: Алаев Павел Евгеньевич,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: alaev@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.502

УДК 512.57

А. И. Будкин

О доминионах разрешимых групп, 575—588.

Доминион подгруппы $H$ группы $G$ относительно класса $M$ — это множество всех элементов $a\in G$, образы которых равны для всех пар гомоморфизмов, совпадающих на $H$, из $G$ в каждую группу из $M$. Группа $H$ абсолютно замкнута в классе $M$, если для любой группы $G$ из $M$ и каждого включения $H\leq G$ доминион $H$ в $G$ (относительно $M$) совпадает с $H$ (т. е. $H$ замкнута в $G$).
Доказывается, что любая неединичная абелева группа без кручения не является абсолютно замкнутой в $\mathcal{A}\mathcal{N}_c$. Показывается: если пересечение подгруппы $H$ группы $G$ из $\mathcal{N}_c\mathcal{A}$ с коммутантом $G'$ тривиальное, то доминион $H$ в $G$ (относительно $\mathcal{N}_c\mathcal{A}$) совпадает с $H$. Устанавливается, что изучение замкнутых подгрупп сводится к изучению доминионов конечно порождённых подгрупп конечно порождённых групп.

Ключевые слова: квазимногообразие, нильпотентная группа, расширение абелевой группы при помощи нильпотентной, доминион, замкнутая подгруппа.

Адрес автора: Будкин Александр Иванович, каф. алгебры и матем. логики, Алтайский гос. ун-т, ул. Ленина, 61, г. Барнаул, 656049, Россия. e-mail: budkin@math.asu.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.503

УДК 512.545

С. В. Вараксин

О представлении свободных $m$-произведений $m$-групп автоморфизмами линейно упорядоченных множеств, 589—598.

Строится представление свободного $m$-произведения в классе всех $m$-групп как фактор-группы свободной $m$-группы над свободным произведением в классе частично упорядоченных групп с реверсивными автоморфизмами.

Ключевые слова: $m$-группа, свободная $m$-группа, частично упорядоченная группа с реверсивным автоморфизмом.

Адрес автора: Вараксин Сергей Владимирович, Алтайский гос. ун-т, пр. Ленина, 61, г. Барнаул, 656049, Россия. e-mail: varaksins@yandex.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.504

УДК 510.53+514.146

Н. Т. Когабаев

Теория проективных плоскостей полна относительно спектров степеней и эффективных размерностей, 599—627.

Доказывается, что теория папповых проективных плоскостей полна относительно спектров степеней автоморфно нетривиальных структур, эффективных размерностей, спектров степеней отношений, спектров категоричности и спектров автоморфизмов. Поэтому для любого натурального $n\geqslant 2$ существует вычислимая паппова проективная плоскость вычислимой размерности $n$.

Ключевые слова: проективная плоскость, паппова проективная плоскость, вычислимая структура, спектр степеней структуры, вычислимая размерность, спектр степеней отношения, спектр категоричности, спектр автоморфизмов.

Адрес автора: Когабаев Нурлан Талгатович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: kogabaev@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.505

УДК 510.53

Д. А. Тусупов

Категоричность и сложность отношений над алгебраическими структурами, 628—637.

Адрес автора: Тусупов Джамалбек Алиаскарович, Евразийский нац. ун-т им. Л. Н. Гумилева, ул. Сатпаева, 2, г. Астана, Казахстан. e-mail: tussupov@mail.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.506

УДК 510.53

А. Н. Фролов

Эффективная категоричность вычислимых линейных порядков, 638—642.

Адрес автора: Фролов Андрей Николаевич, каф. алгебры и матем. логики, Казанский (Приволжский) федерал. ун-т, Кремлёвская, 18, г. Казань, 420008, Россия. e-mail: Andrey.Frolov@kpfu.ru