DOI: 10.17377/alglog.2015.54.601

УДК 510.67

Е. Р. Байсалов, А. Альджуиэ

Линейно минимальные йордановы алгебры характеристики, отличной от $2$, 653—662.

Доказывается, что каждая нетривиальная линейно минимальная йорданова алгебра характеристики, отличной от 2, является алгеброй с делением. Затем, опираясь на зельмановскую классификацию йордановых алгебр с делением, показывается, что такая алгебра является полем.

Ключевые слова: йорданова алгебра, алгебра с делением, поле.

Адреса авторов: Байсалов Ержан Рахметтоллаевич,
Евразийский нац. ун-т им. Л. Н. Гумилева, ул. Мунайтпасова, 5, г. Астана, 010008, Казахстан,
Dep. Math. Stat., Univ. Al-Imam, P.O. Box 90950, 11623 Riyadh, Saudi Arabia.
e-mail: baisal59@gmail.com

Aljouiee, Abdullah, Dep. Math. Stat., Univ. Al-Imam, P.O. Box 90950, 11623 Riyadh, Saudi Arabia. e-mail: joa111@gmail.com

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.602

УДК 510.5

С. С. Гончаров, М. И. Марчук

Индексные множества автоустойчивых относительно сильных конструктивизаций конструктивных моделей конечной сигнатуры и сигнатуры графов, 663—679.

Даются оценки алгоритмической сложности класса вычислимых моделей конечной сигнатуры и сигнатуры графов, имеющих сильную конструктивизацию и автоустойчивых относительно сильных конструктивизаций.

Ключевые слова: модель, вычислимая модель, конструктивная модель, автоустойчивость, индексные множества.

Адреса авторов: Гончаров Сергей Савостьянович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: s.s.goncharov@math.nsc.ru

Марчук Маргарита Игоревна, Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: margaretmarchuk@gmail.com

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.603

УДК 510.5

Р. Д. Димитров, В. Харизанова

Орбиты максимальных векторных пространств, 680—732.

Пусть $V_{\infty}$ — стандартное вычислимое бесконечномерное векторное пространство над полем рациональных чисел. Существует много работ, посвящённых исследованию решётки $\mathcal{L}(V_{\infty})$ вычислимо перечислимых векторных подпространств $V_{\infty}$ и её фактор-решётки $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast}}(V_{\infty})$ по идеалу конечномерных подпространств. Тем не менее, многие важные вопросы в этой области до сих пор остаются открытыми. Р. Доуни и Дж. Реммел [question 5.8, p. 1031, in: Yu. L. Ershov (ed.) et al., Handbook of recursive mathematics. Vol. 2: Recursive algebra, analysis and combinatorics (Stud. Logic Found. Math., 139), Amsterdam, Elsevier, 1998] сформулировали проблему о нахождении значимых орбит в $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast }}(V_{\infty })$. Данная проблема является важной и сложной, и ответ на неё может быть получен только с помощью значительного развития структурной теории решётки $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast }}(V_{\infty})$, а также лучшего понимания свойств её автоморфизмов. Здесь формулируются необходимые и достаточные условия для того, чтобы квазимаксимальные (а следовательно, и максимальные) векторные пространства с продолжаемыми базисами лежали в одной орбите в $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast }}(V_{\infty})$.
Более точно, рассматриваются два векторных пространства $V_{1}$ и $V_{2}$, порождённые двумя квазимаксимальными подмножествами (возможно, различных) вычислимых базисов пространства $V_{\infty }$. Даётся необходимое и достаточное условие для изоморфности главных фильтров, заданных элементами $V_{1}$ и $V_{2}$ в $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast}}(V_{\infty})$. Также устанавливается необходимое и достаточное условие для существования автоморфизма $\Phi$ решётки $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast}}(V_{\infty})$, такого что $\Phi$ отображает класс эквивалентности $V_{1}$ в класс эквивалентности $V_{2}$. Результаты формулируются с использованием $m$-степеней для множеств векторов, связанных с пространствами.
Наши исследования связаны с исследованиями, которые провёл Р. Соар [Ann. Math. (2), 100 (1974), 80-120] для орбит квазимаксимальных множеств в решётке $\mathcal{E}$ вычислимо перечислимых множеств, а также в её фактор-решётке $\mathcal{E}^{\ast }$ по идеалу конечных множеств. Однако, наши результаты и методы доказательств существенно отличаются от использованных Р. Соаром. В частности, структура главного фильтра, заданного квазимаксимальным векторным пространством в $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast }}(V_{\infty})$, оказалась в общем случае гораздо более сложной, чем структура главного фильтра, заданного квазимаксимальным множеством в $\mathcal{E}^{\mathcal{\ast}}$. Кроме того, в отличие от $\mathcal{E}^{\mathcal{\ast}}$ изоморфность главных фильтров в $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast}}(V_{\infty})$ является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы классы эквивалентности двух квазимаксимальных векторных пространств лежали в одной орбите в $\mathcal{L}^{\mathcal{\ast}}(V_{\infty})$.

Ключевые слова: бесконечномерное векторное пространство над полем рациональных чисел, квазимаксимальное множество, классы эквивалентности, главный фильтр, орбита, решётка.

Адреса авторов: Dimitrov, Rumen D., Dep. Math., Western Illinois Univ., Macomb, IL 61455, USA. e-mail: rd-dimitrov@wiu.edu

Harizanov, Valentina, Dep. Math., George Washington Univ., Washington, DC 20052 USA. e-mail: harizanv@gwu.edu.

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.604

УДК 512.5

Н. С. Романовский

Алгебраические множества в конечно порождённой жёсткой 2-ступенно разрешимой про-$p$-группе, 733—747.

2-ступенно разрешимую про-$p$-группу $G$ называют {\it жёсткой}, если в ней существует нормальный ряд $$G=G_1>G_2>G_3=1,$$ такой что фактор-группа $A=G/G_2$ абелева без кручения, подгруппа $G_2$ также абелева и не имеет модульного кручения, как $\mathbb{Z}_pA$-модуль, где ${\mathbb{Z}}_pA$ — групповая алгебра группы $A$ над кольцом целых $p$-адических чисел. Жёсткими, напр., являются свободные метабелевы про-$p$-группы ранга $\geq 2$. Даётся описание алгебраических множеств в произвольной конечно порождённой 2-ступенно разрешимой жёсткой про-$p$-группе, т. е. множеств, задаваемых системами уравнений от одной переменной с коэффициентами из $G$.

Ключевые слова: конечно порождённая жёсткая 2-ступенно разрешимая про-$p$-группа, алгебраическое множество.

Адрес автора: Романовский Николай Семёнович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: rmnvski@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.605

УДК 510.5

У. Эндрюс, Д. И. Душенин, К. Хилл, Дж. Ф. Найт, А. Г. Мельников

Сравнение классов конечных сумм, 748—768.

Понятие тьюрингово вычислимого вложения является вычислимым аналогом борелевского вложения. Оно предоставляет способ сравнения классов счётных структур, что позволяет эффективно сводить проблему классификации одного класса к проблеме классификации другого. Большая часть из известных результатов несуществования тьюрингова вычислимого вложения отражают различия в сложности предложений, которые необходимо выделить из неизоморфных членов двух классов. Здесь рассматриваются структуры, полученные как суммы. Показывается, что $n$-элементные суммы некоторых классов лежат строго ниже $(n+1)$-элементных сумм. Отличия отражают теоретико-модельные рассуждения, связанные с степенью Морли, а не разницу в сложности предложений, которые описывают структуры. Рассматривается три разных типа структур сумм: кардинальные суммы, в которых компоненты названы предикатами, суммы эквивалентности, в которых компоненты являются классами эквивалентности, и прямые сумы некоторых групп.

Ключевые слова: тьюрингово вычислимое вложение, классы конечных сумм, степень Морли, сложность предложений.

Адреса авторов: Andrews, Uri, Dep. Math., Univ. Wisconsin, Madison, WI 53706-1388, USA. e-mail: andrews@math.wisc.edu

Душенин Дмитрий Игоревич, АО "`СНИИГГиМС"', Красный пр., д. 67, г. Новосибирск, Россия. e-mail: dmdushenin@rambler.ru

Hill, Cameron, Dep. Math. Comput. Sci., Wesleyan Univ., Middletown, CT 06459, USA. e-mail: cdhill@wesleyan.edu

Knight, Julia F., Dep. Math., Univ. Notre Dame, 255 Hurley, Notre Dame, IN 46556, USA. e-mail: knight.1@nd.edu

Мельников, Александр Геннадьевич, Inst. Nat. Math. Sci., Massey Univ., Palmerston North, 4442, New Zealand. e-mail: alexander.g.melnikov@gmail.com

DOI: 10.17377/alglog.2015.54.606

УДК 510.53

П. Д'Аквино, С. Кульман

Одно замечание об $\aleph_{\alpha}$-насыщенных $o$-минимальных обогащениях вещественно замкнутых полей, 769—776.

Адрес автора: D'Aquino, Paola, Dip. Matem., Seconda Univ. di Napoli, Italy. e-mail: paola.daquino@unina2.it

Kuhlmann, Salma, FB Math. \& Stat., Univ. Konstanz, Germany. e-mail: salma.kuhlmann@uni-konstanz.de