DOI: 10.17377/alglog.2018.57.101

УДК 512.542

А. А. Бутурлакин

Спектры групп $E_8(q)$, 3—13.

Даётся описание спектров конечных простых и универсальных групп лиева типа $E_8$.

Ключевые слова: спектр группы, порядок элемента, исключительные группы лиева типа.

Адрес автора: Бутурлакин Александр Александрович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 1,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: buturlakin@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2018.57.102

УДК 512.542.6

В. Го, Д. О. Ревин

О максимальных и субмаксимальных ${\mathfrak X}$-подгруппах, 14—42.

Пусть ${\mathfrak X}$ — класс конечных групп, замкнутый относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и расширений. Следуя Х. Виланду, подгруппу $H$ конечной группы $G$ называют субмаксимальной ${\mathfrak X}$-подгруппой, если существует изоморфное вложение $\phi:G\hookrightarrow G^*$ группы $G$ в некоторую конечную группу $G^*$, при котором $G^\phi$ субнормальна в $G^*$ и $H^\phi=K\cap G^\phi$ для некоторой максимальной ${\mathfrak X}$-подгруппы $K$ группы $G^*$. В случае, когда ${\mathfrak X}$ совпадает с классом всех $\pi$-групп для некоторого множества $\pi$ простых чисел, субмаксимальные ${\mathfrak X}$-подгруппы называют субмаксимальными $\pi$-подгруппами. В своём докладе на известной конференции по конечным группам в г. Санта-Круз в 1979 г. Х. Виланд подчеркнул важность изучения субмаксимальных $\pi$-подгрупп, привёл без доказательства некоторые их свойства и сформулировал ряд открытых вопросов, связанных с этими подгруппами. Здесь доказываются свойства максимальных и субмаксимальных ${\mathfrak X}$- и $\pi$-подгрупп и обсуждаются некоторые открытые вопросы, как сформулированные Виландом, так и новые. Один из таких вопросов, принадлежащих Виланду, состоит в следующем. Всегда ли все субмаксимальные ${\mathfrak X}$-подгруппы сопряжены в конечной группе $G$, в которой все максимальные ${\mathfrak X}$-подгруппы сопряжены?

Ключевые слова: конечная группа, максимальная ${\mathfrak X}$-подгруппа, субмаксимальная ${\mathfrak X}$-подгруппа, холлова $\pi$-подгруппа, свойство ${\mathscr D}_\pi$.

Адреса авторов: Wenbin Guo, Dep. Math., Univ. Sci. Tech. China, Hefei 230026, P. R. China; e-mail: wguo@ustc.edu.cn

Ревин Данила Олегович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 1,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
Dep. Math., Univ. Sci. Tech. China, Hefei 230026, P. R. China;
e-mail: revin@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2018.57.103

УДК 512.5+510.6

А. Г. Мясников, Н. С. Романовский

Делимые жёсткие группы. II. Стабильность, насыщенность и элементарные подмодели, 43—56.

Группа $G$ называется жёсткой, если в ней существует нормальный ряд
$$G=G_1>G_2>\ldots>G_m>G_{m+1}=1,$$
факторы которого $G_i/G_{i+1}$ абелевы и, рассматриваемые как правые $\mathbb{Z} [G/G_i]$-модули, не имеют модульного кручения. Жёсткая группа $G$ называется делимой, если элементы фактора $G_i/G_{i+1}$ делятся на ненулевые элементы кольца $\mathbb{Z}[G/G_i]$. Всякая жёсткая группа вкладывается в делимую.

Ранее было установлено, что теория делимых $m$-жёстких групп $\mathfrak{T}_m$ полна. Здесь доказывается, что эта теория является $\omega$-стабильной, описываются насыщенные модели, изучаются элементарные подмодели произвольной модели, находится представление счётной насыщенной модели в виде предельной группы системы Фрессе всех конечно порождённых $m$-жёстких групп, доказывается, что в теории $\mathfrak{T}_m$ имеет место элиминация кванторов до булевой комбинации $\forall\exists$-формул.

Ключевые слова: делимая жёсткая группа, теория, модель, стабильность, насыщенность, $\forall\exists$-формула.

Адреса авторов: Мясников Алексей Георгиевич, Schaefer School Eng. Sci., Dep. of Math. Sci., Stevens Inst. Technology, Castle Point on Hudson, Hoboken NJ 07030-5991, USA. e-mail: amiasnikov@gmail.com

Романовский Николай Семёнович,
Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4,
Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 1,
г. Новосибирск, 630090, Россия.
e-mail: rmnvski@math.nsc.ru

DOI: 10.17377/alglog.2018.57.104

УДК 512.54

В. А. Романьков

О рациональности вербальных подмножеств в разрешимых группах, 57—72.

Вербальным подмножеством группы $G$ называется множество всех значений $w[G]$ группового слова $w$ в этой группе. Рассматривается вопрос о рациональности в смысле теории формальных языков вербальных подмножеств разрешимых групп. Доказано, что любое вербальное подмножество $w[N]$ конечно порождённой нильпотентной группы $N$ относительно слова $w$ положительной экспоненты рационально. Указаны примеры вербальных подмножеств конечно порождённых метабелевых групп, не являющихся рациональными.

Ключевые слова: разрешимая группа, вербальное подмножество, вербальная подгруппа, рациональное множество, формальный язык.

Адрес автора: Романьков Виталий Анатольевич, Омский гос. ун-т им. Ф. М. Достоевского, пр. Мира, 55-А, г. Омск, 644077, Россия. e-mail: romankov48@mail.ru

DOI: 10.17377/alglog.2018.57.105

УДК 512.542.3:519.178

Г. К. Рябов

Об отделимости колец Шура над абелевыми $p$-группами, 73—101.

Кольцо Шура ($S$-кольцо) называется отделимым, если каждый его алгебраический изоморфизм индуцируется изоморфизмом. Пусть $C_n$ — циклическая группа порядка $n$. Доказывается, что все $S$-кольца над группами $D=C_p\times C_{p^k}$, где $p\in\{2,3\}$ и $k\geq 1$, отделимы относительно класса $S$-колец над абелевыми группами. Из этого утверждения выводится, что для графа Кэли над $D$ и графа Кэли над произвольной абелевой группой можно проверить, изоморфны ли эти графы за полиномиальное от $|D|$ время.

Ключевые слова: графы Кэли, проблема изоморфизма графов Кэли, схемы Кэли, кольца Шура, группы подстановок.

Адрес автора: Рябов Григорий Константинович, Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск, 630090, Россия. e-mail: gric2ryabov@gmail.com

DOI: 10.17377/alglog.2018.57.106

УДК 512.5

Е. И. Тимошенко

Централизаторные размерности частично коммутативных метабелевых групп, 102—117.

Устанавливается верхняя оценка для централизаторной размерности частично коммутативной метабелевой группы, линейно зависящая от числа вершин определяющего графа. Доказывается, что централизаторная размерность 2-порождённых метабелевых групп не ограничена сверху. Вычисляется точное значение централизаторной размерности частично коммутативной метабелевой группы, определённой циклом.

Ключевые слова: частично коммутативная метабелева группа, централизаторная размерность, определяющий граф.

Адрес автора: Тимошенко Евгений Иосифович, каф. алгебры матем. логики, Новосибирский гос. техн. ун-т, пр. К. Маркса, 20, г. Новосибирск, 630092, Россия. e-mail: eitim45@gmail.com

DOI: 10.17377/alglog.2018.57.107

УДК 512.542

А. А. Шлёпкин

Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами лиева типа ранга 1, 118—125.

Группа $G$ насыщена группами из множества групп $\mathfrak{R}$, если любая конечная подгруппа из $G$ содержится в подгруппе группы $G$, изоморфной некоторой группе из $\mathfrak{R}$. Ранее [Коуровская тетрадь, вопр. 14.101] был поставлен вопрос о том будет ли периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, чьи ранги ограничены в совокупности, сама простой группой лиева типа?

Даётся частичный ответ на этот вопрос для групп лиева типа ранга 1. Доказывается, что справедлива следующая

ТЕОРЕМА. Пусть периодическая группа $G$ насыщена конечными простыми группами лиева типа ранга 1. Тогда $G$ изоморфна простой группе лиева типа ранга 1 над подходящим локально конечным полем.

Ключевые слова:

Адрес автора: Шлёпкин Алексей Анатольевич, Сибирский федерал. ун-т, Свободный пр., 79, г. Красноярск, 660041, Россия. e-mail: shlyopkin@mail.ru