В Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН состоялась конференция "Уравнения с частными производными и их приложения", в которой также приняли участие коллеги из Новосибирского госуниверситета, Института гидродинамики им. Лаврентьева, из Москвы – МГУ им. М. В. Ломоносова, МФТИ и ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, из Санкт-Петербурга – ПОМИ РАН и БГТУ им. Д. Ф. Устинова.

Впервые эта конференция по уравнениям с частными производными была организована в ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН в 2023 году и посвящена 115-летию со дня рождения выдающегося математика Сергея Львовича Соболева (1908-1989). В этом году она состоялась в четвёртый раз.

– Конференция является особенно значимой в связи с необходимостью продолжения и развития традиций советской школы теории уравнений с частными производными, заложенными И. Г. Петровским, С. Л. Соболевым, О. А. Ладыженской, О. А. Олейник и другими выдающимися математиками, – сообщил представитель оргкомитета мероприятия, член-корреспондент РАН, д.ф.-м.н. Юрий Трахинин. – Научные результаты, представленные в докладах участников конференции, помимо их теоретического значения имеют прямое отношение к важным приложениям в различных областях естествознания. Исследования связаны с гидродинамикой, газовой динамикой, физикой плазмы, астрофизикой, механикой деформируемого твердого тела, течениями вязкоупругих жидкостей и другими приложениями.

Если мы говорим об уравнениях с частными производными, то одним из смежных разделов науки является математическая гидродинамика, которая, с одной стороны, имеет прикладное значение, а с другой стороны, в её основе лежит рафинированный математический подход, использующий аппарат теории уравнений частными производными, в частности, пространства Соболева. В ряде докладов конференции как раз обсуждались фундаментальные вопросы математической гидродинамики, например, вопросы, связанные с доказательством существования и единственности слабых (обобщенных) и сильных (классических) решений различных начально-краевых задач.

Практические приложения уравнений с частными производными, в основном, относятся к области механики, физики в целом, химии и биологии: моделирование движения, динамика жидкости и газа, теория упругости, квантовая механика. Этим темам были посвящены многие доклады конференции. Доклад д.ф.-м.н. С. А. Саженкова, сотрудника ИГиЛ СО РАН был посвящён методу кинетического уравнения, разработанному его учителем – замечательным математиком, д.ф.-м.н., член-корреспондентом РАН, профессором и завкафедры прикладной математики НГУ Павлом Игоревичем Плотниковым, недавно ушедшим из жизни.

В реальных газах и смесях плотность может резко меняться на микроуровне, например, из-за турбулентности, акустических волн или мелкомасштабных неоднородностей. Классические макроскопические уравнения гидродинамики (Навье-Стокса) с такими быстро осциллирующими данными не справляются — их невозможно «усреднить» стандартными путями. П. И. Плотников предложил перейти от стандартного гидродинамического описания к кинетическому. В результате сложные колебания плотности преобразуются в регулярную структуру, подчиняющуюся новому нелинейному кинетическому уравнению. Метод Плотникова позволил ученым математически строго доказать теоремы существования решений для уравнений вязкого сжимаемого газа с сильно колеблющимися начальными условиями, что ранее считалось непосильной задачей.

Со времен Соболева уравнения с частными производными существенно изменились в сторону усложнения, стали более адекватно описывать физические процессы, считают сотрудники ИГиЛ СО РАН д.ф.-м.н. Станислав Антонцев и к.ф.-м.н. Иван Кузнецов.

– Очень давно в классической теории был исследован интеграл Дирихле с постоянной степенью градиента. Эта модель широко использовалась, - рассказал Станислав Антонцев. – А в 1926 году Михаил Алексеевич Лаврентьев опубликовал статью в итальянском журнале, в которой он показал, что если вместо постоянного показателя степени стоит функция, то картина резко меняется. Тогда на это мало кто обратил внимание. Позже к этим уравнениям возник большой интерес. Потом выяснилось, что масса физических процессов, такие как локализация решений за конечное время, связаны с этим показателем. Так возникла сложная задача о необходимых и достаточных условиях, до сих пор не решенная. Практика постоянно порождает новые задачи.

Михаил Чернышов из БГТУ «Военмех» рассказал о разрывных решениях в сверхзвуковой газовой динамике. Теория слабых разрывов применяется для проектирования аэрокосмической техники, оптимизации двигателей и разработки оборонных технологий. Слабый разрыв — это граница, где параметры газа начинают плавно или резко менять направление, то есть граница между невозмущенным набегающим потоком и областью, где воздух начинает сжиматься. Точный расчет этих линий позволяет спроектировать оптимальный угол входного устройства, чтобы двигатель не заглох на экстремальных скоростях. Обычные численные методы «размазывают» слабые разрывы, выдавая погрешность в расчете тепловых и силовых нагрузок на металл. Специальные алгоритмы позволяют программе четко видеть эти границы, экономя миллионы рублей на натурных испытаниях. Такие модели используются при проектировании сверхзвуковых воздушно-реактивных двигателей, элементов ракетно-космической техники и импульсных энергетических установок. Михаил Чернышов отметил, что большое значение в этих исследованиях имеют гистерезисные явления – запаздывания реакции системы, при которых состояние сверхзвукового потока зависит не только от текущих условий, таких как число Маха или угол атаки, но и от предыстории движения. Он подчеркнул огромный вклад Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН в развитие исследований гистерезисных явлений.

Заведующий лабораторий дифференциальных уравнений ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Дмитрий Ткачёв отметил, что уравнения с частными производными активно используются для моделирования течений полимерных жидкостей с требуемыми свойствами. Это широчайший спектр различных практических и технологических задач, возникающих, например, при производстве пластмасс и использовании искусственных заменителей крови. Исследование математических моделей, определяющих течение полимерных жидкостей, требует использования аппарата различных областей математики, в частности, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, вычислительной математики. Ряд докладов на конференции был посвящён изучению качественных свойств течений жидкостей различной природы. При создании моделей полимерных сред необходимо учитывать их специфические особенности. Ученые переводят физические феномены полимерных сред, такие как память формы, упругость, релаксацию, на строгий язык формул и разрабатывают методы их расчета.