Изучение сложности вычислений в различных алгебраических системах было инициировано С. Смейлом, Л. Блюм и М. Шубом в 1989 г., когда они ввели аналоги основных понятий классической теории вычислимости и сложности вычислений для полей вещественных и комплексных чисел. В частности, они определили аналоги классов $P$ и $NP$ и поставили проблемы о совпадении этих классов для полей $R$ и $C$. Эти проблемы до сих пор открыты. Однако в последствии удалось доказать неравенство $P$=/=$NP$ для других алгебраических систем: аддитивная группа вещественных чисел <$R,+,0$> (К. Меер, 1994), бесконечные булевы алгебры (М. Прунеску, 2002), кольца вещественных матриц (А. Рыбалов, 2004). Метод, разработанный для получения этих результатов, существенно использует свойства алгебраических множеств, тесно связанных с такими понятиями универсальной алгебраической геометрии - эквациональными областями и ко-областями.

В докладе будут представлены новые результаты о неравенстве классов $P$ и $NP$ в некоторых кольцах, обобщающие предыдущие результаты.