Высокие слова часто создают впечатление ложного пафоса. Так говорил один из трёх создателей новосибирского Академгородка, основатель Института математики, который сегодня носит его имя. В 118-ю годовщину со Дня рождения академика Сергея Львовича Соболева сотрудники основанного им института организовали научную конференцию его памяти, в которой приняли участие десятки математиков всех возрастов — от студентов и аспирантов до профессоров. Без длинных речей и высоких слов собравшиеся приступили к научным докладам, которые с одним небольшим перерывом продолжались до позднего вечера.

Кроме учёных из Новосибирского университета, где Сергей Львович читал первую лекцию, в конференции приняли участие представители МГУ, МФТИ, ПОМИ РАН, ИВМиМГ СО РАН, Челябинского госуниверситета и Университета Дружбы народов им. Патриса Лумумбы. Всего было заслушано 14 докладов, в том числе дистанционных.

Известно, что Сергей Львович много занимался прикладными задачами и считал важным применение фундаментальных дисциплин, в том числе математики, на практике. За выполнение специальных заданий по закрытой тематике, где он применял тонкие математические методы в инженерных задачах, он получил три Сталинские премии, звание Героя Социалистического Труда и четыре ордена Ленина. Продолжая традиции основателя, последователи Сергея Львовича начали конференцию также с тематики, которая имеет сразу несколько приложений. Академик Владимир Гаврилович Романов рассказал об обратной задаче для уравнения Вестервельта. В этом уравнении опускается член, описывающий диффузию. Тогда оно становится квазилинейным гиперболическим уравнением.

Основные сферы, где обратная задача для уравнения Вестервельта находит применение, связаны с нелинейной акустикой и медицинской ультразвуковой диагностикой и терапией. В этом направлении уравнение Вестервельта используется для моделирования распространения интенсивных ультразвуковых пучков в тканях. Обратная задача заключается в том, чтобы по данным, полученным в фокальной области (например, с помощью датчиков), восстановить характеристики излучателя (его форму, размер, тип возбуждения) или свойства среды (коэффициенты нелинейности, поглощения). Это критически важно для выбора параметров фокусировки и достижения нужного терапевтического эффекта. Например, для разрушения патологических тканей при минимальном риске для здоровых. Также уравнение Вестервельта используется в геоакустике для описания нелинейных эффектов в длинных волновых каналах, например, в пористых средах или при распространении звука в водоёмах.

Имя Сергея Львовича звучало почти в каждом выступлении, поскольку тематика его исследований была достаточно обширна. Темой доклада д.ф.- м.н. Сергея Константиновича Водопьянова стали операторы композиции на пространствах Соболева и квазиконформный анализ. Пространства Соболева сыграли исключительную роль в формировании современных математических воззрений. На основе методов функциональных пространств, предложенных Соболевым, были получены известные неравенства Соболева, позволяющие исследовать существование и регулярность решений дифференциальных уравнений в частных производных. Квазиконформный анализ и теория пространств Соболева тесно связаны. Это разделы современного математического анализа, изучающие свойства функций и отображений, обобщая классические понятия гладкого анализа и теории функций. Их взаимодействие позволяет решать сложные задачи в теории уравнений и частных дифференциальных уравнений. Сама теория операторов композиции —это фундаментальная математика, и «в чистом виде» её в практических приложениях нет. Но функционально-аналитическая база, которую она создаёт, питает несколько вполне прикладных областей. Например, для медицинской визуализации: квазиконформные отображения позволяют «разворачивать» изогнутые поверхности — кору мозга, стенку кишечника — на плоскость или сферу с контролируемым искажением. В компьютерной графике и геометрическом моделировании развёртка текстур и параметризация поверхностей также применяется при построении отображений с контролируемым искажением, когда квазиконформная теория даёт и критерии существования, и численные алгоритмы.

Одним из участников программы конференции памяти С. Л. Соболева стал его внук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова Григорий Александрович Чечкин, который посвятил своё выступление повышенной суммируемости градиентов решений краевых задач. Эти исследования относятся к фундаментальной математике и связаны с тонкими теоремами вложения Соболева. Надо сказать, что вопросы повышенной суммируемости решений краевых задач возникают во многих прикладных областях при моделировании любых процессов, меняющихся в пространстве и времени. Имея повышенную суммируемость, можно получать более тонкие оценки функций, описывающих поведение модели.

Например, данные работы позволяют улучшить и упростить расчёты при компьютерном моделировании. Когда инженеры рассчитывают на прочность мостовые конструкции, проектируют крылья самолетов или рассчитывают растекание тепла в процессоре, они используют численные методы. Компьютер разбивает сложную деталь на миллионы мелких сетчатых элементов и решает задачи на этих мелких элементах, а потом собирает всё воедино. Оценки типа Боярского — Мейерса (повышенная суммируемость градиентов решений) гарантируют, что численный метод сойдётся с большей скоростью и не сильно ухудшится по скорости в точках излома границ. Это дает математическую гарантию того, что компьютерный расчет сойдется к реальному физическому результату за разумное время при умеренном потреблении вычислительных ресурсов.

Практическая польза этих работ заключается в верификации и защите от ошибок инженерного софта. Без фундаментальных теорем регулярности разработчики симуляторов создавали бы алгоритмы «вслепую», рискуя тем, что в критический момент проектирования сложного материала или прибора программа выдала бы ложный результат. Исследования Григория Александровича Чечкина являются прямым идейным и математическим продолжением фундаментальных трудов Сергея Львовича Соболева. Связь между их работами строится на эволюции самого понятия «решение дифференциального уравнения» в XX и XXI веках. Сергей Львович всегда сочетал высочайшую математическую строгость с физической интуицией, ведь он активно занимался расчетами для атомного проекта и других важных Правительственных задач. Ровно этот же подход в решении сложнейших абстрактных задач функционального анализа (таких как оценки Боярского — Мейерса), чтобы объяснить реальные физические процессы поведения композитов, микросхем или криохимических сред, Г. А. Чечкин назвал одним из главных принципов, которые он перенял от своего деда.