Хорошо известно, что множество решений нестационарной системы Навье-Стокса $u(t,x)$ инвариантно относительно анизотропной группы растяжений $lu(l^2t,lx)$. Решение называется самоподобным, если при указанном масштабировании оно переходит само в себя при всех $l>0$. Изначально Жан Лере предлагал рассматривать самоподобные решения с обратным ходом времени (backward self-similar solutions) для поиска сингулярных решений уравнения Навье-Стокса. Однако в классической работе [4] было показано, что таких сингулярных решений (с конечной энергией) не существует.

В то же время, для трехмерного случая с обычным ходом времени (forward self-similar solutions) существование самоподобных решений с начальными данными произвольной величины было получено в известной статье [2]. Доказательство было упрощено (методом исчерпывающих областей Ж. Лере) и распространено на случай решений в полупространстве и в  конусах в работе [3].

Для двумерного же случая вплоть до последнего времени ситуация была неясной: хотя существование самоподобных решений нетрудно доказать в случае малости начальных данных (см., например, [1]), вопрос для общего случая (больших начальных данных) оставался открытым. Это связано с отсутствием подходящих теорем вложения для функций с конечным интегралом Дирихле на плоскости и т.д. В настоящей работе получен результат о существования самоподобных решений уравнений Навье-Стокса в общем двумерном случае (для произвольно больших начальных данных). В доказательстве используются методы вещественного и гармонического анализа на плоскости. Работа выполнена совместно с Dallas Albritton (University of Wisconsin-Madison) и Xiao Ren (Fudan University).

[1] L. Brandolese, “Fine properties of self-similar solutions of the Navier-Stokes equations”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 192:3 (2009), 375-401.
[2] H. Jia and V. V. Sverak, “Local-in-space estimates near initial time for weak solutions of the Navier-Stokes equations and forward self-similar solutions”, Invent. Math., 196:1 (2014), 233-265.
[3] M. Korobkov and T.-P. Tsai, “Forward self-similar solutions of the Navier-Stokes equations in the half space”, Anal. PDE, 9:8 (2016), 1811-1827.
[4] J. Necas, M. Ruzicka, and V. Sverak, “On Leray’s self-similar solutions of the Navier–Stokes equations”, Acta Math., 176:2 (1996), 283-294.