Известно, что для всякого выпуклого многогранного угла внутренняя кривизна, определенная А. Д. Александровым, равна площади сферического изображения данного угла. Для выпуклого многогранника это означает, в частности, что его полная внутренняя кривизна равна площади единичной сферы. Автор доклада исследует однородные звездчатые (с самопересечением) многогранники Коксетера в евклидовом трехмерном пространстве. Удалось для двух типов многогранных звездчатых углов определить кривизну реализации и площадь сферического изображения. Причем для любого многогранного угла одного из двух данных типов доказано, что кривизна реализации равна площади сферического изображения. Что для однородных многогранников с углами этих типов означает равенство полной кривизны реализации данного многогранника и произведения площади единичной сферы на плотность данного многогранника.

В ходе выступления на примере большого битригонального икосододекаэдра планируется:

- продемонстрировать способ построения звездчатого однородного многогранника;
- дать определение кривизны реализации вершины многогранного угла однородного многогранника с выпуклыми гранями;
- ввести понятие сферического изображения многогранного угла и рассмотреть способ вычисления его площади.

В заключительной части доклада будет представлено доказательство равенства кривизны реализации и площади сферического изображения для многогранного угла в вершине многогранника, исследуемого класса.

Основные результаты, которые будут представлены, опубликованы в следующих статьях:

- Антипова Л. А. Аналог теоремы Гаусса-Александрова о площади сферического изображения для невыпуклого многогранного угла без особенностей // Материалы Международной конференции «Классическая и современная геометрия»... (Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 221, ВИНИТИ РАН, М., 2023). — С. 10-19.
- Антипова Л. А. Строение и кривизны малого кубокубооктаэдра и полярно-двойственного к нему многогранника // Сибирский математический журнал. — 2026. — Т. 67, № 1. — С. 3-14.

В эргодической теории среди множества задач, в частности, рассматриваются операторы, являющися средними по некоторым множествам степеней преобразования. Возникает последовательность таких операторов, которая изучается с разных позиций (сходимости по норме и почти всюду при действии операторов на функции).

Этим занимались со времен фон Неймана и Биркгофа. Удивительно, но, если мы будем следить лишь за поведением отдельных степеней преобразования и находить их слабые пределы, то получим теорию, которая даже богаче теории усреднений в плане приложений к классической метрической динамике. Слабые пределы степеней применяются для изучения типичных инвариантов, джойнингов, они имеют приложения к гауссовским и пуассоновским системам и к ряду вопросов спектральной теории динамических систем.

В докладе планируется обсуждение относительно простых примеров преобразований с нетривиальной полугруппой слабого замыкания его степеней.