Cеминар «Нестандартные логики» им. Л. Л. Максимовой

Грузинский логик Лео Эсакиа систематически исследовал алгебры Гейтинга, топобулевы алгебры и связи между данными классами алгебр. Им были установлены:

1. классификация элементов топобулевой алгебры;
2. двойственность категорий топобулевых алгебр (алгебр Гейтинга) и гибридов (строгих гибридов), гибрид - это топологическое пространство с предпорядком, который согласован с топологией определенным образом;
3. фундаментальные свойства гибридов. В серии из трех реферативных докладов будет рассказано про данные исследования.

Доклады основаны на книге Лео Эсакиа, которая была недавно переведена на английский:

[1] Leo Esakia. "Heyting algebras. Duality theory". (ed. G. Bezhanishvili, W. H. Holliday). Springer Nature, Switzerland, 2019.

В 1970 году Хилари Пристли доказала, что категория дистрибутивных решеток дуально эквивалентна категории упорядоченных топологических пространств специально вида, называемых ныне пространствами Пристли. С тех пор дуальности такого вида активно исследуются, прежде всего для алгебраических моделей неклассических логик. В докладе будет дан обзор результатов о дуальностях Пристли для дистрибутивных решеток, алгебр Гейтинга, Де Моргана и Клини, а также для алгебраических моделей логик Нельсона N3 и N4.

[1] Priestley, H. A., ‘Representation of distributive lattices by means of ordered Stone spaces’, Bull. London Math. Soc., 2 (1970), 186–190.

[2] Davey, B. A., and H. A. Priestley, Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

[3] Odintsov, S. P., 'Priestley Duality for Paraconsistent Nelson’s Logic', Stud. Logica, 96 (2010), 65–93.

Установлено, что явления в квантовой механике имеют вероятностную природу. Например, мы не можем определить положение электрона в произвольный момент времени, но можем определить вероятностное распределение его положения, зная начальное распределение. Это можно интерпретировать, как отсутствие детерминизма в квантовой механике. Однако не все физики разделяли подобную интерпретацию. Ими была предложена концепция скрытых параметров, которые нельзя измерить, но которые однозначно определяют движение частиц. В 1964 году Джоном Стюартом Беллом было показано, что вне зависимости от наличия или отсутствия скрытых параметров есть некоторые вероятностные неравенства, которые можно экспериментально проверить, и в случае их нарушения можно сделать вывод об отсутствии скрытых параметров. Физиками Джоном Клаузером, Аланом Аспектом и Антоном Цайлингером были проведены эксперименты, которые показали нарушение неравенств Белла. За этот результат им была присуждена Нобелевская премия в 2022 году.

Неравенства Белла не нарушаются в классических вероятностных моделях. В частности, неравенства Белла выводятся в вероятностной логике Фагина, Хальперна и Мегиддо. Их нарушение означает, что для моделирования квантовой механики необходимы нестандартные вероятностные модели. В докладе речь пойдет о модифицированной вероятностной логике, в которой невыводимы неравенства Белла, и будет доказана теорема полноты для данной логики. Семантика данной логики задается в терминах квантовых тимов и является обобщением тим-семантики логики независимости, введенной Юко Ваананеном в 2007 году.

Сообщение основано на следующих работах:

[1] T. Hyttinen, G. Paolini, J. Vaananen, Quantum team logic and Bell's inequalities. Rev. of Symb. Logic, V. 8, No. 4, 2015.
[2] J. T. Fokkens, On the reduction of quantum teams, MA thesis, University of Gothenburg.
[3] S. Abramsky and L. Hardy. ‘Logical Bell Inequalities’. Phys. Rev. A , 85(062114):1-11, 2012.

Алгебраизация понятия топологического пространства предложена более 70 лет назад в работе МакКинси и Тарского. Однако, морфизмы в предложенной алгебраизации не вполне соответствует морфизмам топологических пространств — непрерывным отображениям. Автор данной статьи замечает, что если рассматривать ЧУМы и полурешетки с дополнительным бинарным отношением предпорядка (специализации), то соответствие морфизмов будет иметь место. В статье показано, что любой такой ЧУМ (полурешетка) со специализацией вкладывается в соответствующий ЧУМ (полурешетку) со специализацией, ассоциированную с топологическим пространством, где отношение специализации связано с оператором замыкания топологического пространства. Более того, показано, что можно переопределить некоторые топологические понятия для данных структур и доказать связанные с этими понятиями теоремы из общей топологии.

[1] P. Lipparini, A Model Theory of Topology, Studia Logica, V. 113 (2024), 225-259.

Установлено, что явления в квантовой механике имеют вероятностную природу. Например, мы не можем определить положение электрона в произвольный момент времени, но можем определить вероятностное распределение его положения, зная начальное распределение. Это можно интерпретировать, как отсутствие детерминизма в квантовой механике. Однако не все физики разделяли подобную интерпретацию. Ими была предложена концепция скрытых параметров, которые нельзя измерить, но которые однозначно определяют движение частиц. В 1964 году Джоном Стюартом Беллом было показано, что вне зависимости от наличия или отсутствия скрытых параметров есть некоторые вероятностные неравенства, которые можно экспериментально проверить, и в случае их нарушения можно сделать вывод об отсутствии скрытых параметров. Физиками Джоном Клаузером, Аланом Аспектом и Антоном Цайлингером были проведены эксперименты, которые показали нарушение неравенств Белла. За этот результат им была присуждена Нобелевская премия в 2022 году.

Неравенства Белла не нарушаются в классических вероятностных моделях. В частности, неравенства Белла выводятся в вероятностной логике Фагина, Хальперна и Мегиддо. Их нарушение означает, что для моделирования квантовой механики необходимы нестандартные вероятностные модели. В докладе речь пойдет о модифицированной вероятностной логике, в которой невыводимы неравенства Белла, и будет доказана теорема полноты для данной логики. Семантика данной логики задается в терминах квантовых тимов и является обобщением тим-семантики логики независимости, введенной Юко Ваананеном в 2007 году.

Сообщение основано на следующих работах:

[1] S. Abramsky and L. Hardy. Logical Bell Inequalities. Phys. Rev. A , 85(062114):1-11, 2012.
[2] T. Hyttinen, G. Paolini, J. Vaananen, Quantum team logic and Bell's inequalities. Rev. of Symb. Logic, V. 8, No. 4, 2015.
[3] J. T. Fokkens, On the reduction of quantum teams, MA thesis, University of Gothenburg.