В Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН состоялась конференция "Уравнения с частными производными и их приложения", в которой также приняли участие коллеги из Новосибирского госуниверситета, Института гидродинамики им. Лаврентьева, из Москвы – МГУ им. М. В. Ломоносова, МФТИ и ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, из Санкт-Петербурга – ПОМИ РАН и БГТУ им. Д. Ф. Устинова.

Впервые эта конференция по уравнениям с частными производными была организована в ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН в 2023 году и посвящена 115-летию со дня рождения выдающегося математика Сергея Львовича Соболева (1908-1989). В этом году она состоялась в четвёртый раз.

– Конференция является особенно значимой в связи с необходимостью продолжения и развития традиций советской школы теории уравнений с частными производными, заложенными И. Г. Петровским, С. Л. Соболевым, О. А. Ладыженской, О. А. Олейник и другими выдающимися математиками, – сообщил представитель оргкомитета мероприятия, член-корреспондент РАН, д.ф.-м.н. Юрий Трахинин. – Научные результаты, представленные в докладах участников конференции, помимо их теоретического значения имеют прямое отношение к важным приложениям в различных областях естествознания. Исследования связаны с гидродинамикой, газовой динамикой, физикой плазмы, астрофизикой, механикой деформируемого твердого тела, течениями вязкоупругих жидкостей и другими приложениями.

Если мы говорим об уравнениях с частными производными, то одним из смежных разделов науки является математическая гидродинамика, которая, с одной стороны, имеет прикладное значение, а с другой стороны, в её основе лежит рафинированный математический подход, использующий аппарат теории уравнений частными производными, в частности, пространства Соболева. В ряде докладов конференции как раз обсуждались фундаментальные вопросы математической гидродинамики, например, вопросы, связанные с доказательством существования и единственности слабых (обобщенных) и сильных (классических) решений различных начально-краевых задач.

Практические приложения уравнений с частными производными, в основном, относятся к области механики, физики в целом, химии и биологии: моделирование движения, динамика жидкости и газа, теория упругости, квантовая механика. Этим темам были посвящены многие доклады конференции. Доклад д.ф.-м.н. С. А. Саженкова, сотрудника ИГиЛ СО РАН был посвящён методу кинетического уравнения, разработанному его учителем – замечательным математиком, д.ф.-м.н., член-корреспондентом РАН, профессором и завкафедры прикладной математики НГУ Павлом Игоревичем Плотниковым, недавно ушедшим из жизни.

В реальных газах и смесях плотность может резко меняться на микроуровне, например, из-за турбулентности, акустических волн или мелкомасштабных неоднородностей. Классические макроскопические уравнения гидродинамики (Навье-Стокса) с такими быстро осциллирующими данными не справляются — их невозможно «усреднить» стандартными путями. П. И. Плотников предложил перейти от стандартного гидродинамического описания к кинетическому. В результате сложные колебания плотности преобразуются в регулярную структуру, подчиняющуюся новому нелинейному кинетическому уравнению. Метод Плотникова позволил ученым математически строго доказать теоремы существования решений для уравнений вязкого сжимаемого газа с сильно колеблющимися начальными условиями, что ранее считалось непосильной задачей.

Со времен Соболева уравнения с частными производными существенно изменились в сторону усложнения, стали более адекватно описывать физические процессы, считают сотрудники ИГиЛ СО РАН д.ф.-м.н. Станислав Антонцев и к.ф.-м.н. Иван Кузнецов.

– Очень давно в классической теории был исследован интеграл Дирихле с постоянной степенью градиента. Эта модель широко использовалась, - рассказал Станислав Антонцев. – А в 1926 году Михаил Алексеевич Лаврентьев опубликовал статью в итальянском журнале, в которой он показал, что если вместо постоянного показателя степени стоит функция, то картина резко меняется. Тогда на это мало кто обратил внимание. Позже к этим уравнениям возник большой интерес. Потом выяснилось, что масса физических процессов, такие как локализация решений за конечное время, связаны с этим показателем. Так возникла сложная задача о необходимых и достаточных условиях, до сих пор не решенная. Практика постоянно порождает новые задачи.

Михаил Чернышов из БГТУ «Военмех» рассказал о разрывных решениях в сверхзвуковой газовой динамике. Теория слабых разрывов применяется для проектирования аэрокосмической техники, оптимизации двигателей и разработки оборонных технологий. Слабый разрыв — это граница, где параметры газа начинают плавно или резко менять направление, то есть граница между невозмущенным набегающим потоком и областью, где воздух начинает сжиматься. Точный расчет этих линий позволяет спроектировать оптимальный угол входного устройства, чтобы двигатель не заглох на экстремальных скоростях. Обычные численные методы «размазывают» слабые разрывы, выдавая погрешность в расчете тепловых и силовых нагрузок на металл. Специальные алгоритмы позволяют программе четко видеть эти границы, экономя миллионы рублей на натурных испытаниях. Такие модели используются при проектировании сверхзвуковых воздушно-реактивных двигателей, элементов ракетно-космической техники и импульсных энергетических установок. Михаил Чернышов отметил, что большое значение в этих исследованиях имеют гистерезисные явления – запаздывания реакции системы, при которых состояние сверхзвукового потока зависит не только от текущих условий, таких как число Маха или угол атаки, но и от предыстории движения. Он подчеркнул огромный вклад Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН в развитие исследований гистерезисных явлений.

Заведующий лабораторий дифференциальных уравнений ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Дмитрий Ткачёв отметил, что уравнения с частными производными активно используются для моделирования течений полимерных жидкостей с требуемыми свойствами. Это широчайший спектр различных практических и технологических задач, возникающих, например, при производстве пластмасс и использовании искусственных заменителей крови. Исследование математических моделей, определяющих течение полимерных жидкостей, требует использования аппарата различных областей математики, в частности, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, вычислительной математики. Ряд докладов на конференции был посвящён изучению качественных свойств течений жидкостей различной природы. При создании моделей полимерных сред необходимо учитывать их специфические особенности. Ученые переводят физические феномены полимерных сред, такие как память формы, упругость, релаксацию, на строгий язык формул и разрабатывают методы их расчета.

В Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН состоялась конференция «Уравнения с частными производными и их приложения». В ней приняли участие исследователи из Новосибирска, Москвы, Санкт-Петербурга и других городов страны. Это уже четвертый научный форум, посвященный таким уравнениям; впервые он прошел в 2023 году в честь 115-летия со дня рождения выдающегося математика Сергея Львовича Соболева.

«Конференция является особенно значимой в связи с необходимостью продолжения и развития традиций советской школы теории уравнений с частными производными, заложенных С. Л. Соболевым, Иваном Георгиевичем Петровским, Ольгой Александровной Ладыженской, Ольгой Арсеньевной Олейник и другими, — сказал представитель оргкомитета член-корреспондент РАН Юрий Леонидович Трахинин. — Научные результаты, представленные в докладах участников, помимо их теоретического значения, имеют прямое отношение к важным приложениям в различных областях естествознания. Исследования связаны с гидродинамикой, газовой динамикой, физикой плазмы, астрофизикой, механикой деформируемого твердого тела, течениями вязкоупругих жидкостей и другими направлениями».

Читать статью полностью

Сотрудники Международного математического центра ИМ СО РАН – группа разработки алгоритмов стохастического моделирования для решения краевых задач высокой размерности и их применения под руководством д.ф.-м.н., профессора К. К. Сабельфельда – выступили с докладами на Международной конференции «Методы Монте-Карло и приложения - 2026» в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН. В мероприятии приняли участие ведущие российские институты и университеты – МИАН им. В. А. Стеклова, МФТИ, НИУ ВШЭ, НИЦ «Курчатовский институт», ряда институтов Сибирского отделения РАН, Московского авиационного института, Новосибирского, Томского и Дальневосточного госуниверситетов, а также учёные из США, Канады, Китая и Казахстана.

В СССР, а затем в России с методом Монте-Карло работало три математических школы – в Москве, Санкт-Петербурге и Новосибирске. Зарубежные научные группы широко используют этот метод в приложениях по физике, химии, биологии, финансовой математике, но не занимаются развитием его теории. Впервые этот метод был изобретен и использован итальянскими и американскими физиками, работавшими над созданием ядерного оружия. Его создатели – Энрико Ферми в 1930-х, а затем в 1940-х – Джон фон Нейман и любитель азартных игр Станислав Улам. Последние двое применяли стохастические (вероятностные) методы для расчетов переноса нейтронов и исследований ядерных реакций.

Монте-Карло — это метод, названный по аналогии с азартным районом Монако, где находится казино Монте-Карло, и где фортуной управляет случайность. Но оказалось, что даже случайность можно смоделировать с достаточно высокой точностью. Группа численных методов «Монте-Карло» использует случайные числа и статистику для получения приближенных решений математических, физических и экономических задач. Вместо решения сложной детерминированной задачи, исходя из уравнений, строят вероятностную модель этого процесса. В игру вступает компьютер, разыгрывая случайные сценарии по построенной модели, которые после усреднения сценариев дают требуемое решение с высокой точностью.

Идея состоит в том, чтобы задать модель процесса и много раз его «разыграть», а затем обработать результаты. Например, страховая компания может смоделировать тысячи вариантов того, сколько ей придётся сделать выплат. Конструкторы проверяют степень надёжности устройства в разных условиях. В физике и химии моделируют поведение частиц, в медицине считают количество ложноположительных результатов тестирования. Во многих прикладных задачах возникает необходимость определить вероятность и среднее время достижения частицей какого-то участка границы из удаленного источника, например, доставка лекарства в таргетной терапии. Одно из решений такой задачи методом Монте-Карло предложили К. К. Сабельфельд и его аспирант М. Ю. Маркевич в их статье в журнале «Monte Carlo Methods and Applications», представленной на конференции в докладе «Метод стохастического моделирования для вычисления времен достижения малых участков границы области». Результаты исследования подтвердили вычислительную состоятельность и эффективность предложенного подхода.

Гибридные алгоритмы «Монте-Карло + Итерационное уточнение» (двухэтапная глобальная оптимизация) — это стандарт индустрии для сложных многомерных задач. Они действительно дают колоссальный выигрыш в эффективности и точности по сравнению с «чистым» Монте-Карло.

– Метод Монте-Карло хорошо справляется с задачами большой размерности, которые обычными алгебраическими способами высчитывались бы целую вечность, – поясняет Карл Сабельфельд. – Детерминированные задачи решаем с помощью рандомизации, то есть искусственно вносим случайность, а затем усредняем полученный результат. Таким образом они переводятся в вероятностные и решаются уже на другом языке. Например, если вы кинете монетку много раз, знаете сколько раз она выпадет на «орла» и «решку»? Плюс минус пополам! Но есть намного более сложные задачи, с которыми отлично справляется Монте-Карло в обязательном сочетании с итерационным уточнением для уменьшения погрешности.

По словам Карла Сабельфельда, наиболее эффективно работают комбинации детерминированных и стохастических подходов. Например, траекторию электронов при исследовании никелевого варистора мы рассчитываем для Института физики полупроводников методом Монте-Карло. Физикам требуется связать проводимость с подвижностью электронов, – это класс некорректных задач, в которых может быть много решений. Физики могут только косвенно её оценить, а напрямую не получается. Ещё одна задача с тем же институтом – рассчитать поведение электронов в гетероструктурах с квантовыми ямами при создании полупроводниковых наноразмерных многослойных плёнок, состоящих из различных полупроводниковых материалов. По этим направлениям у ИФП и ИМ СО РАН опубликовано несколько совместных статей в «Material Science and Engineering B», «Inverse and Ill-Posed Problems» и «Journal of Computational Electronics».

Школу методов Монте-Карло в Новосибирске возглавлял член-корреспондент РАН Геннадий Алексеевич Михайлов, который ушел совсем недавно из жизни в возрасте 92-х лет. С конца 60-х годов ХХ века здесь занимались развитием методов Монте-Карло и сохранили лидерство в этом направлении в России и в мире. Главным редактором известного международного журнала в этой науке - “Monte Carlo Methods and Applications” - является ученик Г. А. Михайлова, К. К. Сабельфельд, он же руководитель проекта Международного математического центра ИМ СО РАН. Ему удалось собрать вокруг себя группу студентов и аспирантов, с большим интересом и увлеченностью работающих в данном проекте. Это означает, что Сибирская школа методов Монте-Карло продолжает интенсивно развиваться.