Две алгебры Ли, заданные на одном и том же векторном пространстве, называются согласованными, если любая линейная комбинация соответствующих скобок задает алгебру Ли. Согласованные алгебры Ли имеют несколько важных приложений в теории интегрируемых систем. Более жесткой структурой являются согласованные ассоциативные алгебры.

В ходе доклада мы рассмотрим задачу об описании ассоциативных алгебр, согласованных с матричной алгеброй $Mat(n)$. Мы поговорим об алгебраической структуре, представления которой соответствуют таким алгебрам. Приведем маломерные примеры. Поговорим о широком классе примеров, порождаемых аффинными схемами Дынкина типов $A, D, E$.

Точечные дефекты в аморфном и стеклообразном $SiO_2$ играют важную роль в различных областях науки и техники: в микроэлектронике, в многослойных оптических покрытиях, в волоконной оптике и др. В микроэлектронике $SiO_2$ используется в качестве изолирующих слоев полупроводниковых приборов, и электронные состояния дефектов в запрещенной зоне $SiO_2$ могут быть ловушками электронов и дырок, и быть причиной токов утечки и накопления паразитного заряд. В многослойных оптических покрытиях с чередующимися слоями оксидов с низким и высоким показателем преломления, в которых аморфные плёнки $SiO_2$ играют роль оптических слоев с низким показателем преломления, дефекты $SiO_2$ приводят избыточному поглощению и, в конечном итоге, к снижению порога разрушения покрытия под действием мощного лазерного излучения. В волоконных световодах на основе кварцевого стекла точечные дефекты определяют радиационно-оптическую устойчивость – наведенные радиацией потери, обусловленные электронными состояниями дефектов в запрещенной зоне $SiO_2$. Примесные, а иногда и собственные дефектные состояния $SiO_2$ определяют и запись УФ лазерами Брэгговских решеток в световодах, и свойства волоконных оптических усилителей и лазеров.

К настоящему времени выполнено большое количество исследований свойств собственных и примесных дефектов $SiO_2$. Однако, до недавнего времени при моделировании «разумные» воображаемые дефекты создавались «руками» либо в кристаллах $SiO_2$, либо в кластерах атомов со структурой «похожей» на структуру аморфного $SiO_2$. В последнем случае применялись методы погруженного кластера или оборванные связи на внешней границе кластера насыщались атомами водорода. В обоих приближениях энергия исходной системы локально оптимизировалась методами квантовой механики (химии) путем варьирования положений атомов дефектов, а иногда и атомов их ближайшего окружения. Последовательное применение квантовой механики для получения аморфных состояний $SiO_2$ и его дефектов использовалось редко и в ограниченном виде.

Настоящая работа посвящена новому подходу к моделированию аморфного $SiO_2$ и его дефектов. В этом подходе аморфные состояния получались при моделировании методами квантовой молекулярной динамики процесса расплавления-закалки исходного кристалла. Этот процесс заключается в разогреве кристалла до заданной температуры выше температуры плавления, стабилизации расплава, охлаждения расплава до комнатной температуры и стабилизации полученного состояния. Использовалась лицензионная программа VASP 5.4.4. Получены аморфные состояния стехиометрического и кислородно-дефицитного $SiO_2$ при различных температурах стабилизации расплава. Кислородно-дефицитные состояния моделировались путем расплавления-закалки исходного кристалла с одной или двумя кислородными вакансиями. Описана структура сетки атомов полученных аморфных состояний и структуры обнаруженных в них дефектов, среди которых есть и известные и новые точечные дефекты $SiO_2$. Всего обнаружено 9 дефектов в стехиометрическом $SiO_2$ еще 7 дефектов в кислородно-дефицитном $SiO_2$. Для сравнения приведены результаты моделирования таким же методом аморфных состояний $HfO_2$ и $ZrO_2$, а также свойства полученной тем же методом двухслойной аморфной структуры $SiO_{2}–Ta_{2}O_5$. На основании полученных результатов сделаны общие выводы. Такой подход позволяет естественным образом получать не только низкоэнергетические собственные, но и примесные дефекты аморфных состояний.