Александр Жданок
Операторная теория общих цепей Маркова и конечно-аддитивные меры.
Аннотация
- Мы изучаем марковские операторы $T$, $A$ и $T^*$, порождаемые классической переходной функцией, общих цепей Маркова на произвольном измеримом пространстве. Оператор $T$ определён на банаховом пространстве всех ограниченных измеримых функций. Оператор $A$ определён на банаховом пространстве всех ограниченных счётно- аддитивных мер. Мы строим оператор $T^*$, топологически сопряжённый к оператору $T$.
- Изучаются последовательности средних по Чезаро от степеней марковских операторов на множестве конечно-аддитивных вероятностных мер.
- В нашей сложной базисной Теореме доказывается, что множество всех предельных мер (точек) таких последовательностей в слабой топологии, порожденной предсопряженным пространством, непусто, слабо компактно, и все они инвариантны для этого оператора.
- Доказана Теорема о том, что известное условие Деблина $(D)$ для эргодичности цепи Маркова эквивалентно условию $(*)$: все инвариантные конечно-аддитивные меры цепи Маркова счетно-аддитивны, т. е. не существует инвариантных чисто конечно-аддитивных мер.
- Доказан главный результат о том, что, в общем случае, марковский оператор $T^*$ квазикомпактен тогда и только тогда, когда квазикомпактен оператор $T$.
- Из приведённых теорем получаем, что сопряжённый оператор $T^*$ квазикомпактен тогда и только тогда, когда выполнено условие Деблина $(D)$.
- Показано, что условия квазикомпактности для всех трех марковских операторов $T$, $A$, и $T^*$ эквивалентны друг другу (здесь использованы и результаты других авторов).
- Как следствие, мы получаем, что оператор $T^*$ квазикомпактен тогда и только тогда, когда у него нет инвариантных чисто конечно-аддитивных мер.
- Доказана сильная равномерная обращаемая эргодическая теорема для квазикомпактного марковского оператора $T^*$ в пространстве конечно-аддитивных мер.
- Все доказательства приведены для наиболее общего случая, и полученные общие теоремы не улучшаемы.
- Проводится подробный анализ контрпримера Michael Lin.
Последние публикации:
1. Zhdanok, A. Quasi-Compactness of Operators for General Markov Chains and Finitely Additive
Measures. Mathematics 2024, 12, 3155. https://doi.org/10.3390/math12193155
2. Zhdanok, A. Invariant Finitely Additive Measures for General Markov Chains and the Doeblin
Condition. Mathematics 2023, 11, 3388. https://doi.org/10.3390/math11153388
