Семинар теории колец имeни А. И. Ширшова

Доказана теорема о корневом разложении невырожденной алгебры Роты-Бакстера, откуда, в частности, следует, что любая такая конечномерная алгебра над полем характеристики ноль является прямой суммой нильпотентных подалгебр.

Показано, что в общем случае такие алгебры могут быть ненильпотентными и дан критерий нильпотентности алгебры в терминах спектра оператора. Аналогичные результаты справедливы для алгебр с невырожденным дифференцированием.

Все кольца в работе ассоциативные.

В 2002 году Редмонд доказал, что обхват графа делителей нуля конечного кольца равен бесконечности или не превышает четырех. Позже было доказано, что для нетеровых колец, а также для коммутативных колец с единицей обхват сжатого графа делителей нуля либо равен бесконечности либо трем (Coykendall, Spiroff et al., 2012; Anderson, LaGrange, 2016).

В настоящей работе доказывается, что для произвольного конечного кольца, если сжатый граф делителей нуля конечного кольца не является ациклическим, то он содержит цикл длины три.