Семинар теории колец имeни А. И. Ширшова

Архив семинара

09 апреля 2025 г.

А. Ю. Перепечко
Алгебры Ли локально нильпотентных дифференцирований и максимальные унипотентные подгруппы в группах автоморфизмов аффинных многообразий

Аннотация

Пусть множество $А$ локально нильпотентных дифференцирований (ЛНД) на алгебре многочленов образует алгебру Ли. В одноимённой работе А. А. Скутина доказано, что $А$ с точностью до сопряжения лежит в подалгебре треугольных ЛНД при условии тривиальности пересечения ядер элементов $А$. Мы разберём схему доказательства и выведем следствие о подмножествах ЛНД на алгебре функций произвольного аффинного многообразия.

Опираясь на данный результат, мы опишем подгруппы, состоящие из унипотентных элементов, в группе автоморфизмов произвольного аффинного многообразия. Также мы представим ряд следствий из данного описания.

12 февраля 2025 г.

В. Ю. Губарев, А. С. Панасенко
Операторы Роты-Бакстера на простой йордановой алгебре матриц порядка $2$.

Аннотация

Описаны все операторы Роты-Бакстера на простой йордановой алгебре $M_2(F)^+$ матриц порядка $2$ как нулевого, так и ненулевого весов.

Вводится новый вид операторов (название: левосторонний оператор Роты-Бакстера веса $k$), удовлетворяющий соотношению $R(x)R(y) = R(R(x)y + yR(x) + k^{*}yx)$, где $k$ - фиксированный скаляр.

Показано, что произвольный РБ-оператор нулевого веса на алгебре $M_2(F)^+$ является оператором Роты-Бакстера нулевого веса на алгебре $M_2(F)$ или левосторонним оператором Роты-Бакстера нулевого веса на алгебре $M_2(F)$.

05 февраля 2025 г.

V. N. Zhelyabin, A. P. Pozhidaev
Simple and semisimple finite-dimensional Novikov algebras and their automorphisms (продолжение).

Аннотация

We prove that every finite-dimensional semisimple Novikov algebra is the direct sum of simple algebras, and every finite-dimensional simple Novikov algebra over an arbitrary filed of characteristic $p >0$ is the Gelfand-Dorfman construction of an associative commutative differentiably simple algebra. The description of the automorphisms of such simple Novikov algebras over an algebraically closed field is reduced to the description of some special automorphisms of the initial associative commutative algebras.

22 января 2025 г.

V. N. Zhelyabin, A. P. Pozhidaev
Simple and semisimple finite-dimensional Novikov algebras and their automorphisms.

Аннотация

We prove that every finite-dimensional semisimple Novikov algebra is the direct sum of simple algebras, and every finite-dimensional simple Novikov algebra over an arbitrary filed of characteristic $p > 0$ is the Gelfand--Dorfman construction of an associative commutative differentiably simple algebra. The description of the automorphisms of such simple Novikov algebras over an algebraically closed field is reduced to the description of some special automorphisms of the initial associative commutative algebras.

15 января 2025 г.

П. С. Колесников (совм. с Б. Сартаев)
О свойстве Донга для операд.

Аннотация

Операда $P$ называется донговой, если аналог леммы Донга о сохранении локальности формальных распределений относительно конформных произведений выполняется на классе всех $P$-алгебр. Мы находим необходимое и достаточное условие донговости бинарной квадратичной операды и выводим ряд следствий. В частности, установлено, что черное произведение Манина донговых операд снова является донговой операдой.

25 декабря 2024 г.

И. П. Шестаков
Допустимые многообразия алгебр.

Аннотация

Мы рассматриваем подмногообразия многообразия некоммутативных йордановых алгебр, которые допускают структурную теорию, аналогичную теориям альтернативных и йордановых алгебр. В случае конечномерных алгебр примеры таких многообразий рассматривались в 1960-70-х годах Р. Шафером, Р. Блоком, А. Тэди и автором. Сейчас мы пытаемся распространить некоторые результаты о нильпотентности и разрешимости бесконечномерных алгебр. Однородное многообразие $V$ некоммутативных йордановых алгебр мы называем «$n$-допустимым», если любая антикоммутативная алгебра из $V$ нильпотентна индекса $n$. Если любая антикоммутативная алгебра из $V$ локально нильпотентна, мы называем $V$ «локально допустимым». Например, многообразие йордановых алгебр является 2-допустимым, многообразие ассоциативных алгебр является 3-допустимым, многообразие альтернативных алгебр является 4-допустимым. Мы доказываем, в частности, что в локально допустимом многообразии

Любая нильалгебра $A$ ограниченной степени локально нильпотентна,
Если алгебра $A$ в предыдущем утверждении принадлежит допустимому многообразию над полем характеристики 0, то $A$ разрешима,
Нильрадикал конечно порожденной $PI$-алгебры $A$ из допустимого многообразия нильпотентен,
Любая конечно порожденная коалгебра в допустимом многообразии конечномерна.

18 декабря 2024 г.

Xiaomin Tang (Heilongjiang University)
Modules of Non-unital Polynomial Rota-Baxter Algebras.

Аннотация

In this talk, we study the free commutative non-unital Rota-Baxter algebra $(R, P)$ which is the algebra of polynomials in one variable without constant term with Rota-Baxter operators of nonzero weight. The main result shows that every module over the Rota-Baxter algebra $(R, P)$ is equivalent to the modules over a plane $k$<$x,y$>/$I$ where $I$ is some ideal of free algebra $k$<$x,y$>. Furthermore, we provide the classifification of modules $(R, P)$ of weight nonzero through solution to the matrix equation $\alpha AB = BAB + (\alpha + 1)BA$.