Семинар по геометрическому анализу

Архив семинара

09 апреля 2025 г.

И. А. Медных
Спектральные инварианты циклических накрытий графов и полиномы Чебышева.

Аннотация

Цель данного направления исследований — изучение инвариантов циклических накрытий графов. При этом, накрываемый граф предполагается фиксированным, а циклическая группа накрытия имеет сколь угодно большой порядок. Классическим примером таких накрытий являются циркулянтные графы. Они накрывают одновершинный граф с заданным числом петель.

Доклад посвящен получению аналитических формул, позволяющих вычислять характеристические полиномы Лапласа. Знание такого полинома позволяет определять ряд основных спектральных инвариантов графов. Например, число отмеченных остовных лесов и деревьев, находить их асимптотическое поведение при стремлении числа вершин к бесконечности, и изучать арифметические свойства возникающих здесь числовых последовательностей. Все указанные инварианты являются спектральными — их значения определяются спектром матрицы Лапласа.

Основным инструментом для доказательства полученных результатов выступают полиномы Чебышева. Основные формулы, а также их асимптотика эффективно выражаются через корни линейных комбинаций полиномов Чебышева.

02 апреля 2025 г.

Г. К. Соколова
Форма Смита для сопровождающей матрицы суперпозиции полиномов и её приложения к теории узлов.

Аннотация

В докладе приводится форма Смита для сопровождающей матрицы суперпозиции полиномов над коммутативным кольцом. Полученные результаты применяются для проведения конструктивного доказательства теоремы Планса для двумостовых узлов. Теорема Планса утверждает, что первая группа гомологий нечетно-листного и группа гомологий четно-листного накрытия сферы над узлом, профакторизованная по гомологии двулистного накрытия, распадаются в прямую сумму двух копий некоторой абелевой группы. Структура абелевых групп в докладе описываются через полиномы Чебышева четвертого и второго рода.

05 марта 2025 г.

А. В. Левичев
Состоит ли протон из кварков? Если MLM (=много-уровневая модель) приемлема, то в чём её новизна по сравнению с СТО (=теорией относительности)?

Аннотация

Будет дано краткое математическое описание MLM. Этот подход разрабатывается (коллективом авторов) уже почти 10 лет. В нём протон элементарен (и неразрушим). В докладе будут приведены новые данные о его волновых функциях. Осмысление MLM и её сравнение с теорией относительности позволяют сформулировать новую (по сравнению с СТО) парадигму. Часть материала доступна на https://doi.org/10.20944/preprints202202.0280.v2 (объёмный препринт) и https://www.intechopen.com/online-first/1160023 (глава в книге Протонная Терапия).

26 февраля 2025 г.

К. Б. Кутбаев
Моделирование узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны (кандидатская диссертация, научный руководитель – д.ф.-м.н., проф. А. Д. Медных)

Аннотация

Диссертация посвящена моделированию узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны. Основная часть содержит три главы. В первой главе изучаются условия существования геометрических структур над двумостовыми узлами в пространствах постоянной кривизны и точная аналитическая формула для гиперболического объема их конических многообразий. Во второй главе представлены условия существования конического многообразия над узлом трилистник с одним мостом в евклидовом и гиперболическом пространствах и их объемы. В третьей главе моделируется зацепление $6_{1}^3$ в пространстве Лобачевского. В дополнении третьей главы представлен результат о рациональности порождающей функции для числа корневых остовных лесов в циркулянтных графах.

12 февраля 2025 г.

В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева
Геодезические и группа изометрий Вселенной Дефриза как группы Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой.

Аннотация

Авторы исследуют модель Вселенной Дефриза DU как группы Ли G4 с левоинвариантной лоренцевой метрикой и находят ее геодезические (они незамкнуты и могут быть неполными), все киллинговы векторные поля, структуры алгебр Ли группы Ли G4, группы изометрий G6 для DU и ее подгрупп.

05 февраля 2025 г.

А. В. Грешнов
Области допустимых параметров Box-квазиметрик канонических групп Гейзенберга и их обобщений.

Аннотация

Для групп Гейзенберга и некоторых их обобщений получены геометрические описания областей допустимых параметров $q_1$, $q_2$ для их Box-квазиметрик, рассматриваемых как симметрические $(q_1,q_2)$-квазиметрики.

29 января 2025 г.

Я. А. Копылов
Об одномерных когомологиях Орлича общих дискретных групп.

Аннотация

В 2017 г. С. Истридж рассмотрел некоторые задачи, связанные с одномерными $l_p$-когомологиями общих (не обязательно счетных) дискретных групп. В докладе некоторые результаты Истриджа обобщаются на одномерные когомологии Орлича. Приводятся некоторые условия для тривиальности нередуцированных и редуцированных когомологий Орлича дискретной группы и для совпадения этих пространств.