ИМ СО РАН 
Вход для сотрудников

Семинар «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа»

Архив семинара

И. В. Кузнецов (Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН)
Прямые и обратные задачи для уравнений импульсных волн с сильным затуханием. Гипотетическое приложение в сейсмологии.

АннотацияРечь пойдет о псевдогиперболических уравнениях или волновых уравнениях с сильным затуханием. Мы сформулируем прямую задачу с источником, аппроксимирующим дельта-функцию Дирака в начальный момент времени. Это означает, что в пределе вторая производная по времени неизвестного решения также является дельта-функцией Дирака, а первая производная по времени имеет разрыв в начальный момент времени. Мы применяем масштабирование для формулировки задачи на бесконечно малом начальном слое и вычисляем зазор в начальный момент для первой производной по времени. Затем мы сформулируем обратную задачу, когда интегральное условие переопределения для производной первого порядка по времени аппроксимирует функцию, разрывную в начальный момент. Это означает, что волновое уравнение содержит неизвестный источник, аппроксимирующий дельта-функцию Дирака. Повторяя процедуру масштабирования, как и для прямой задачи, мы получаем обратную задачу на бесконечно малом начальном слое, что позволяет вычислить зазор в начальный момент для производной первого порядка по времени неизвестного решения. В конце доклада будет представлено гипотетическое приложение к сейсмологии. Принято считать, что землетрясения связаны с теорией хрупкого разрушения. Альтернативный подход основан на генерации нелинейных ударных волн наряду с продольными и поперечными волнами. Поэтому будет кратко рассмотрена природа импульсных источников колебаний.

И. В. Кузнецов (Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН)
Импульсные параболические уравнения.

АннотацияВ докладе будут рассмотрены импульсные уравнения параболического типа с нестандартным ростом. Без импульсного источника такие уравнения рассматривались, в том числе, в работах С. Н. Антонцева, Р. Ароры, С. И. Шмарева, Ал. С. Терсенова, Ар. С. Терсенова. Данный доклад может представлять интерес для специалистов в области повышения гладкости слабых решений параболических уравнений. Также, импульсные уравнения могут наглядно демонстрировать наличие разрыва предельного решения, когда его производная в заданный момент времени вырождается в дельта функцию Дирака по времени.

Ар. С. Терсенов
О применении теории вязких решений для доказательства разрешимости краевых задач для нелинейных параболических уравнений (продолжение).

Аннотация

В настоящем докладе мы рассмотрим вырождающиеся параболические уравнения с градиентными нелинейностями как дивергентного, так и недивергентного вида. Используя аппарат вязких решений, нам удалось доказать существование непрерывных по Липшицу по пространственным переменным решений первой краевой задачи для анизотропных параболических уравнений с переменными показателями анизотропности в случае, когда младшие члены не удовлетворяет условию Бернштейна-Нагумо. Использование аппроксимационных методов, основанных на регуляризации, позволяющей доказать классическую разрешимость регуляризованной задачи, дает возможность получить решения максимальной гладкости, известной на сегодняшний день.

Преимущество указанного подхода заключается в том, что осуществление предельного перехода по вязким решениям регуляризованных задач, коими являются, в частности, и классические решения, возможно при более слабых априорных оценках на решения регуляризованной задачи.

Также мы рассмотрим метод суб/суперрешений, который позволяет избежать регуляризацию и получать теоремы о разрешимости, работая непосредственно с исходным уравнением.

Ар. С. Терсенов
О применении теории вязких решений для доказательства разрешимости краевых задач для нелинейных параболических уравнений.

Аннотация

В настоящем докладе мы рассмотрим вырождающиеся параболические уравнения с градиентными нелинейностями как дивергентного, так и недивергентного вида. Используя аппарат вязких решений, нам удалось доказать существование непрерывных по Липшицу по пространственным переменным решений первой краевой задачи для анизотропных параболических уравнений с переменными показателями анизотропности в случае, когда младшие члены не удовлетворяет условию Бернштейна-Нагумо. Использование аппроксимационных методов, основанных на регуляризации, позволяющей доказать классическую разрешимость регуляризованной задачи, дает возможность получить решения максимальной гладкости, известной на сегодняшний день.

Преимущество указанного подхода заключается в том, что осуществление предельного перехода по вязким решениям регуляризованных задач, коими являются, в частности, и классические решения, возможно при более слабых априорных оценках на решения регуляризованной задачи.

Также мы рассмотрим метод суб/суперрешений, который позволяет избежать регуляризацию и получать теоремы о разрешимости, работая непосредственно с исходным уравнением.

Н. А. Люлько
Асимптотическая устойчивость гиперболических систем с граничными условиями, повышающими гладкость решений.

АннотацияВ работе рассматриваются смешанные задачи для гиперболических систем первого порядка с граничными условиями отражения. Выделен класс граничных условий, для которых соответствующие линейные задачи обладают свойством повышения гладкости решений. В случае квазилинейных задач соответствующие смешанные задачи обладают свойством стабилизации всех решений к нулю за конечное время, не зависящее от начальных данных (если гиперболическая система распавшаяся), или свойством экспоненциальной устойчивости (если гиперболическая система не распавшаяся).

В. Н. Белых
Асимптотика александровского $n$-поперечника компакта бесконечно гладких функций на конечном отрезке.

АннотацияПри конструировании алгоритмов численного решения краевых задач речь всегда идёт об аппроксимации континуальных объектов $X$ конечномерными и о построении аналогов последних, отправляясь от понятий, допускающих финитную формализацию. Наилучшее финитное описание объекта $X$, определенным образом организованного в метрический компакт, приводит к понятию александровского $n$-поперечника $\alpha_{n}(X)$, который определяется как нижняя грань $\varepsilon$-сдвигов $X$ в компакт топологической размерности, не большей $n$. При этом скорость убывания $\alpha_{n}(X)$ к нулю при $n \to \infty$ сравнивается с числом $n$ свободных числовых параметров конечномерного описания $X$. Для компактов $X$ функций конечной и бесконечной гладкости эти асимптотики различаются принципиально: если в первом случае убывание $\alpha_n(X)$ происходит как некоторая фиксированная степень числа $1/n$, то во втором оно осуществляется экспоненциально. К. И. Бабенко разработал новые - ненасыщаемые - вычислительные методы, практическая эффективность которых напрямую связана с асимптотикой $\alpha_{n}(X)$ при $n \to \infty$. Причем пик эффективности методов - экспоненциальная сходимость - достигается на классе бесконечно гладких $X$. Это отличает ненасыщаемые численные методы от методов, имеющих главный член погрешности: конечно-разностных, конечных элементов, квадратур и др. В настоящем докладе приведены результаты о вычислении асимптотики $\alpha_{n}(X)$ для ряда компактов $X$ бесконечно гладких функций на отрезке.

Список семинаров

Информация о семинаре

Информация о семинаре

Руководитель:
зав. лабораторией Белоносов Владимир Сергеевич

Время и место проведения:
Четверг, 16.20 ч., ауд. 213, ИМ

Семинары ИМ СО РАН