Важнейшие результаты за 2000 г.
1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
Автор: Л. А. Бокуть, совместно с Ю. Фонгом и В.-Ф. Ке (Тайвань)
Для ассоциативных конформных алгебр построена теория базисов Гребнера - Ширшова, основанная на доказанной лемме о композиции-Diamond для этих алгебр.
Автор: В. М. Копытов, совместно с Й. Рахунеком (Чехия)
Доказано, что в многообразии групп монотонных преобразований линейно упорядоченного множества имеется наибольшее собственное подмногообразие и указаны тождества, задающее это подмногообразие.
Автор: В. Д. Мазуров
Получено исчерпывающее описание групп, содержащих элементы всех порядков, не превосходящих 5, и не содержащих элементов других порядков; доказано, в частности, что эти группы локально конечны.
Автор: Ю. Л. Ершов
Построено расширение поля рациональных чисел, сочетающее в себе достоинства всех полей вещественных и p-адических чисел, имеющее разрешимую элементарную теорию и удовлетворяющее локально-глобальному принципу Хассе. Найдены легко применимые достаточные условия, при которых арифметический локально-глобальный принцип следует из геометрического.
Автор: С. П. Одинцов
Описана структура класса расширений минимальной логики с точностью до негативной эквивалентности. Установлено определение отрицания через унарный оператор абсурдности. Показано, что в ряде традиционных систем паранепротиворечивых логик, таких как логика Батенса $CluN$, логика Сэта $P_1$, логика Да Косты $C_1$, отрицание может быть определено на основании этого метода.
Автор: О. В. Кудинов
Развита теория мажорантно вычислимых вещественнозначных функионалов в случае, когда основной язык не содержит равенства, то есть является языком строго упорядоченных колец.
Автор: Л. Л. Максимова
Решена сложная проблема описания суперинтуиционистских логик, обладающих проективным свойством Бета. Доказано, что в континуальном семействе суперинтуиционистских логик существуют в точности 16 логик с проективным свойством Бета. Найдены аксиоматизация и семантическая характеризация всех указанных логик. Получено исчерпывающее описание позитивных логик, обладающих проективным свойством Бета. Их оказалось семь. Доказана разрешимость проективного свойства Бета в семействах суперинтуиционистских и позитивных логик.
Автор: Г. А. Носков (ОФ ИМ СО РАН)
Доказано, что любая конечно порожденная подгруппа группы Кокстера либо содержит свободную неабелеву подгруппу, либо почти абелева.
1.1.2. Геометрия и топология
Автор: В. В. Иванов
Дано доказательство классической гипотезы Каратеодори об омбилических точках аналитической поверхности.
Автор: И. А. Тайманов, совместно с А. В. Болсиновым (Москва, МГУ)
Построен пример интегрируемой системы (геодезического потока на компактном аналитическом многообразии), которая имеет положительную топологическую энтропию.
Автор: А. Ю. Веснин
Получены описания класса трехмерных многообразий, циклически накрывающих трехмерную сферу, разветвленно над двухмостовыми узлами, через хирургии Дэна на семействе зацеплений и через двулистные разветвленные накрытия сферы, обобщающие подход Такахаши. В качестве следствия найдены циклические представления фундаментальных групп таких многообразий.
1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
Автор: В. Г. Романов
В задаче определения слоистой структуры дна доказано, что при определении параметров слоистой структуры для заданного времени T может быть указано количество слоев и однозначно определены их упругие параметры.
Автор: Л. Б. Вертгейм
Дан способ восстановления симметрического тензорного поля с точностью до дивергентного слагаемого в аффинном пространстве, если известно его лучевое преобразование для всех прямых, пересекающих данную кривую.
Автор: А. Л. Бухгейм
Доказана единственность определения потенциала стационарного уравнения Шредингера по частичному отображению Дирихле-Неймана.
Авторы: М. М. Лаврентьев-мл., Д. Р. Ахметов
Изучена возникающая в теории синхронизации резонаторов задача для параболического уравнения с малым параметром при старших производных по части пространственных переменных. Получены равномерные по малому параметру оценки решения в сильных нормах и обоснован предельный переход.
Автор: В. В. Асеев
Получено решение проблемы П. П. Белинского о топологических вложениях, сохраняющих конформные модули, при минимальных требованиях регулярности.
1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
Авторы: А. А. Боровков, А. А. Могульский
Решена задача о больших уклонениях частично однородных в положительном квадранте цепей Маркова. Найдено полное описание точной асимптотики вероятности попадания в произвольное удаленное множество при выполнении условия Крамера. Одновременно установлено, что подобного полного описания в трехмерном случае не существует.
1.1.5. Вычислительная математика
Автор: Ю. С. Волков
Найдены достаточные условия, гарантирующие положительность классических полиномиальных сплайнов максимальной гладкости, интерполирующих на равномерной сетке положительную функцию.
Автор: А. И. Задорин (ОФ ИМ СО РАН)
Разработан метод редукции трехточечных разностных схем на сетках с полубесконечным числом узлов к разностным схемам на сетках с конечным числом узлов.
1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий
Авторы: Н. Н. Ачасов, В. В. Губин
На основании теоретического изучения $\omega - \rho$ интерференции показано, что относительная фаза между однофотонной $(J / \psi → \rho^0 \eta)$ и трёхглюонной $(J / \psi → \omega^0 \eta)$ амплитудами велика (около 90°).
2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение
Автор: А. А. Ломов
Получены конструктивные условия идентифицируемости параметров матричных линейных дифференциальных и разностных уравнений по наблюдениям решений в стохастическом и детерминированном случаях.
Автор: С. А. Малюгин
Получен критерий несистематичности совершенных двоичных кодов с расстоянием 3, на основе которого найдены новые конструкции таких кодов.
Автор: Д. Г. Фон-Дер-Флаасс
Найдена новая комбинаторная конструкция сильно регулярных графов с параметрами графов обобщенных четырехугольников $GQ (n + 1, n -1)$, $GQ (n,n)$ и $GQ (n - 1, n + 1)$, где $n$ - степень простого числа, а также дистанционно регулярных графов диаметра 3. Число получающихся неизоморфных графов гиперэкспоненциально от числа вершин.
Авторы: А. А. Агеев, М. И. Свириденко
Построен приближенный алгоритм с оценкой точности 1/2 для решения задачи о максимальном ориентированном разрезе с заданными размерами частей.
Авторы: Ю. А. Кочетов, Е. Н. Гончаров
Для многостадийной задачи размещения разработан новый вероятностный алгоритм поиска с запретами. Показано, для данного алгоритма вероятность не найти точное решение задачи стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии с ростом числа итераций.
Авторы: О. В. Бородин, А. Н. Глебов
Получено неулучшаемое описание строения окрестности ребра в плоских графах, из которого, в частности, следует точная верхняя оценка для глубины асимметрии плоских графов, т.е. наименьшего числа ребер, удаление которых приводит к образованию нетривиального автоморфизма.
Автор: В. М. Маракулин
Доказана теорема существования конкурентного равновесия в моделях экономики типа Эрроу-Дебре с пространством товаров, являющимся линейной векторной решеткой, в которой предполагаются выполненными лишь слабейшие требования согласования порядковой и топологической структуры.
Авторы: С. И. Фадеев, В. В. Когай
Разработан метод продолжения по параметру на основе множественной стрельбы для численного исследования нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом возможности ветвления решений.
Авторы: Г. Г. Забудский, В. А. Мотовилов (ОФ ИМ СО РАН)
Разработаны полиномиальный алгоритм решения задачи размещения параллельно-последовательного графа на линии и гибридный алгоритм для произвольного ациклического графа, проведены экспериментальные исследования.
2.2.4. Проблемы искусственного интеллекта, распознавание образов, принятие решений и экспертные системы
Автор: В. Б. Бериков
В рамках Байесовского подхода найдены доверительные интервалы для вероятности ошибки распознавания в зависимости от объема обучающей выборки и размерности пространства в дискретном случае.