Важнейшие результаты за 2005 г.
1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
Автор: С. С. Гончаров совместно с С. А. Бадаевым (Казахстан), А. Сорби (Италия)
Изучены типы изоморфизмов и элементарные теории полурешеток Роджерса. Доказано несовпадение типов изоморфизма вычислимых нумераций семейств множеств из различных уровней арифметической иерархии. Установлена бесконечность элементарных типов полурешеток Роджерса в каждом уровне арифметической иерархии.
Автор: Ю. Л. Ершов
Доказана формульная определимость главной подрешетки полурешетки Роджерса конечного частично упорядоченного множества. Для доказательства потребовалось найти обобщение теоремы Денисова о продолжении вложений полурешеток Лахлана на идеалы полурешеток Роджерса.
Автор: А. С. Морозов
Получено описание всех подмножеств в группе автоморфизмов упорядочения на рациональных числах, определимых в языке первого порядка, а также в группах таких автоморфизмов, вычислимых в идеалах тьюринговых степеней.
Автор: Л. Л. Максимова
Доказана сильная разрешимость проективного свойства Бета в расширениях модальной логики Гжегорчика.
Автор: П. Е. Алаев
Для всех элементарных теорий булевых алгебр найдены точные оценки для перехода от $n$-конструктивности моделей (разрешимости $\Sigma_n$-диаграммы) к сильной конструктивизируемости (существованию представления с разрешимой диаграммой первого порядка).
Автор: М. В. Семенова
Доказано, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп $n$-нильпотентных полугрупп, является конечно базируемым многообразием. Установлено, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп свободных полугрупп, совпадает с классом решеток, вложимых в прямые произведения конечных ограниченных снизу решеток.
Автор: С. В. Судоплатов
Доказана реализуемость всех возможных пар вида «квазипорядок Рудина-Кейслера; функция распределения числа предельных моделей» в классе теорий с конечным числом счетных моделей.
Авторы: А. В. Васильев, Е. П. Вдовин
Изучены связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел. Получен критерий смежности в графе простых чисел для всех конечных простых групп. Для графа простых чисел каждой конечной простой группы найдены: независимое множество с наибольшим числом вершин, независимое множество, содержащее 2, с наибольшим числом вершин и порядки этих множеств.
Автор: А. В. Заварницин совместно с А. Н. Гришковым (Бразилия)
Доказана теорема Лагранжа для конечных луп Муфанг.
Автор: В. Н. Ремесленников (ОФ ИМ СО РАН), совместно с А. В. Боровиком, А. Г. Мясниковым (Англия)
Построены генераторы для порождения случайных нормальных форм для свободных конструкций свободных групп и алгоритмы для решения классических алгоритмических проблем в них. Доказано, что эти алгоритмы являются полиномиальными на генерическом (большом) множестве входных данных.
1.1.2. Геометрия и топология
Автор: И. А. Тайманов, совместно с Д. А. Бердинским (магистрант НГУ)
Построены аналоги представления Вейерштрасса в трехмерных некоммутативных группах Ли, описаны поверхности постоянной средней кривизны в этих группах в терминах голоморфности обобщенных квадратичных дифференциалов Хопфа.
Автор: А. Ю. Веснин, совместно с М. Мулаццани (Италия), П. Кристофори (Италия)
Установлены необходимые и достаточные условия существования строго циклических разветвленных накрытий $(g,1)$-узла в трехмерном многообразии. Получена формула для числа таких накрытий заданного узла.
1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
Автор: С. К. Водопьянов
Исследовано распределение значений квазимероморфных отображений поляризуемых групп Карно.
Автор: Д. В. Исангулова
Установлена устойчивость отображений с ограниченным искажением в теореме Лиувилля на областях Джона групп Гейзенберга.
Автор: М. В. Коробков, совместно с Е. Ю. Пановым (Новгород)
Найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы кривая являлась образом градиента гладкой функции двух переменных. Указаны приложения результата к вопросу о разрешимости уравнений в частных производных.
Автор: С. С. Кутателадзе
Получены теоремы о восстановлении классов порядково ограниченных операторов по свойствам ядер их слоев.
Автор: В. С. Белоносов
Для решений квазиэллиптических уравнений при общих краевых условиях на границе полупространства установлены аналоги формулы Пуассона и принципа максимума Миранды – Агмона.
Автор: В. Г. Романов
Для линейного гиперболического уравнения с переменными коэффициентами найдена в явном виде весовая функция, играющая основную роль в методе Карлемана при построении оценок устойчивости в целом решения некорректной задачи Коши.
Авторы: Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева, совместно с В. А. Лихошваем (ИЦиГ СО РАН)
Доказано, что решения класса систем дифференциальных уравнений больших размеров, возникающих при моделировании генных сетей, аппроксимируются решениями дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Получены условия асимптотической устойчивости стационарных решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и установлены равномерные оценки решений.
1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
Автор: А. А. Боровков
Получены предельные теоремы, описывающие переходные явления для случайных блужданий с малым сносом. Обобщены известные результаты Прохорова-Кингмана на случай разно-распределенных скачков в схеме серий и распространены на случай бесконечных вторых моментов.
1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий
Автор: Н. Г. Плетнев, совместно с И. Л. Бухбиндером (Томск)
Развит систематический подход для конструкции эффективного действия $N = 4$ теории SYM, зависящего от всех $N = 2$ суперполей векторного мультиплета и гипермультиплета. Вычислен ведущий вклад в эффективное одно-петлевое действие, получено точное функциональное представление для зависимости эффективного действия от полей гипермультиплета и от произвольной степени ковариантных производных векторного мультиплета. Показано, что первый член разложения этого функционала неренормируется высшими квантовыми поправками.
2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение
Авторы: C. В. Августинович, А. Э. Фрид
Доказана теорема об однозначном разложении факторного языка в произведение факторных языков.
Автор: Ф. И. Соловьева
Найдена новая конструкция транзитивных двоичных кодов.
Автор: Т. И. Федоряева
Получено полное описание векторов разнообразия шаров в метрических пространствах деревьев.
Автор: А. Д. Коршунов
Найдена асимптотика по $n$ для числа $k$-неразделенных семейств подмножеств $n$-элементного множества при $k > 2$.
Авторы: А. А. Колоколов, А. В. Адельшин, Д. И. Ягофарова (ОФ ИМ СО РАН), совместно с А. Н. Тюрюмовым (аспирант ОмГУ)
Разработаны алгоритмы решения ряда задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе использования моделей целочисленного линейного программирования и лексикографического перебора элементов $L$-разбиения.