Важнейшие результаты за 2002 г.
1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
Автор: Ю. Л. Ершов
Построена финитарная версия абстрактной теории полей классов. Это позволило предложить эффективный (алгоритмический) вариант глобальной теории полей классов для полей алгебраических чисел.
Автор: С. С. Гончаров, совместно с Б. Хусаиновым (Новая Зеландия) и В. Харизановым, К. Ласковски, С. Лемппом, Ч. Маккоем (США)
Установлена связь алгоритмической сложности категоричных в мощности теорий и их моделей. Решена известная проблема о существовании счетно и несчетно категоричных теорий любой арифметической сложности и имеющих вычислимые модели. Доказана модельная полнота теорий обогащений счетных моделей константами сильно минимальных с тривиальной геометрией теорий и предельная разрешимость всех счетных моделей таких теорий, имеющих вычислимые модели.
Автор: Л. Л. Максимова
Решена проблема описания модальных логик, содержащих известную логику Гжегорчика и обладающих проективным свойством Бета. Доказано, что существует в точности двенадцать непротиворечивых расширений логики Гжегорчика с указанным свойством. Найдены аксиоматизация и семантическая характеризация всех указанных логик.
Автор: П. Е. Алаев
Получено полное и естественное описание однородных булевых алгебр, обладающих вычислимым представлением. Это является ответом на вопрос, известный с 1982 года.
Автор: М. В. Семенова, совместно с Ф. Вэрунгом (Франция)
Показано, что класс $SUB$ подрешеток решеток выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств является конечно базируемым многообразием. Более того, конечная решетка лежит $SUB$ в том и только том случае, когда она вложима в решетку выпуклых подмножеств конечного частично упорядоченного множества.
Автор: Е. А. Палютин
Доказана замкнутость операции элементарных пар для следующих классов полных теорий: примитивно нормальные; аддитивные, антиаддитивные и примитивно связные. Отсюда вытекает $P$-стабильность класса примитивно связных теорий, что обобщает известный результат Баура-Циглера о стабильности полных теорий модулей.
Автор: В. М. Копытов, совместно с В. В. Блудовым (Иркутск)
Доказано, что во всякой линейно упорядоченной группе, являющейся расширением нильпотентной группы с помощью полициклической группы, существует конечный нормальный ряд из выпуклых подгрупп, факторы которого нильпотентны либо архимедовы.
Автор: И. П. Шестаков
Получена характеризация ручных автоморфизмов колец многочленов от трех переменных в терминах некоторых специальных преобразований, называемых сокращениями, дающая алгоритм для проверки является ли данный автоморфизм ручным. В частности, отрицательно решена «проблема ручных автоморфизмов».
Автор: П. С. Колесников
Дана классификация простых йордановых псевдоалгебр конечного ранга.
Авторы: В. Д. Мазуров, В. А. Чуркин
Доказана конечность группы, порожденной классом сопряженных элементов порядка 3 конечного типа и действующей свободно на абелевой группе.
Автор: О. В. Богопольский
Доказана почти геометричность разложений фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции.
1.1.2. Геометрия и топология
Автор: В. Н. Берестовский (ОФ ИМ СО РАН)
Доказано, что гомеоморфность 3-мерной сфере пространства направлений 4-мерного многообразия Александрова ограниченной сверху кривизны влечет гипотезу Пуанкаре.
Автор: В. А. Шарафутдинов
Построено геометрическое исчисление символов псевдодифференциальных операторов на многообразиях со связностью.
Автор: В. П. Голубятников
Доказаны теоремы единственности решений задачи нахождения неизвестного гамильтониана, описывающего риманову метрику в области.
1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
Авторы: С. К. Водопьянов, А. В. Грешнов
На эквирегулярных пространствах Карно–Каратеодори доказана $P$-дифференцируемость липшицевых (относительно метрики Карно–Каратеодори) отображений.
Автор: М. М. Лаврентьев
Разработаны элементы теории гиперболических отображений, связанных с задачами томографии. Доказаны теоремы о возможности отображения выпуклой области общего вида на каноническую область и теоремы единственности для обратных задач томографии.
Автор: В. Г. Романов
Показано, что обратная задача для системы уравнений Максвелла распадается на три последовательно решаемых задачи. Метод изучения задачи может служить основой для создания вычислительного алгоритма ее решения.
Автор: Ю. Е. Аниконов, совместно с М. Ямомото (Япония)
Сформулирована и доказана теорема единственности решения трехмерной нелинейной обратной задачи для системы уравнений Ламе.
Авторы: А. А. Бухгейм, С. Г. Казанцев
Получены новые формулы обращения и создан пакет программ для решения задач векторной томографии на плоскости.
Авторы: В. С. Белоносов, Т. И. Зеленяк
Для полуограниченных самосопряженных дифференциальных операторов с многоточечными граничными условиями общего вида построен аналог известной теории М. Морса, связывающей число положительных собственных значений оператора с количеством так называемых сопряженных точек на заданном интервале.
Автор: Е. И. Роменский, совместно с Е. Ф. Торо (Англия)
Предложена новая модель двухфазной двухжидкостной среды, определяющие дифференциальные уравнения которой – гиперболическая система термодинамически согласованных законов баланса в консервативной форме, допускающая применение развитой математической теории и эффективных численных методов для анализа решений.
Авторы: А. Я. Булгаков, Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева
Изучены условия асимптотической устойчивости решений нелинейных периодических разностных уравнений и нелинейных периодических дифференциальных уравнений. С использованием параметров устойчивости, введенных авторами, установлены оценки, характеризующие поведение решений на бесконечности.
Автор: А. И. Рылов
Показано, что системе уравнений С. А. Чаплыгина отвечает бесконечное множество законов сохранения на физической плоскости и плоскости годографа.
1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
Автор: А. А. Боровков
Найдено асимптотическое поведение вероятности пересечения удаленной границы траекторией асимптотически однородной в пространстве цепи Маркова. Для таких цепей установлен аналог закона повторного логарифма.
Автор: С. В. Нагаев
Получены верхние оценки для вероятности больших уклонений автонормированных сумм в случае неодинаково распределенных слагаемых в терминах ляпуновского отношения. Ранее верхние оценки для вероятности больших уклонений автонормированных сумм выводились только для одинаково распределенных слагаемых.
1.1.5. Вычислительная математика
Авторы: А. М. Блохин, Д. Л. Ткачёв
При исследовании задач об обтекании бесконечного плоского клина сверхзвуковым потоком газа получен важный результат: при финитных начальных данных сильная ударная волна со временем затухает (угол при вершине клина достаточно мал).
Авторы: В. И. Болдырев, Г. В. Шевченко
Разработан метод последовательных приближений для решения линейных задач оптимального управления, основанный на кусочно-линейной аппроксимации функций в фазовом пространстве и симплексных покрытиях выпуклых компактных тел.
1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий
Авторы: Н. Н. Ачасов, Киселев А. В.
Вычислен вклад состояний $\pi^0 \gamma$ и $\eta \gamma$ в аномальный магнитный момент мюона через поляризацию вакуума с высокой точностью, $a_\mu (\pi^0 \gamma + \eta \gamma)=(53.1 \pm 1.5)·10^{-11}$.
2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение
Автор: А. А. Ломов
Показано, что алгоритмическая сложность условий идентифицируемости линейных стационарных стохастических систем полностью определяется структурой матрицы наблюдения. Предложен новый подход к классификации линейных систем.
Автор: С. А. Малюгин
На основе анализа орбит пространства двоичных слов, определяемых группой перестановочных автоморфизмов кодов Хемминга, получены следующие результаты: найдена классификация совершенных кодов размерности 15, получаемых сдвигами компонент; значительно расширен класс конструкций нелинейных совершенных кодов; доказано, что порядок группы автоморфизмов кода Хемминга по крайней мере в 2 раза больше чем у произвольного нелинейного кода.
Автор: А. В. Кононов
Разработан приближенный алгоритм с гарантированной точностью 24/13 для решения задач построения расписания работ с отношениями предшествования в иерархической коммуникационной системе.
Автор: А. А. Агеев
Построены: комбинаторный алгоритм с рекордной оценкой точности 4.56 для метрической многоуровневой задачи размещения и комбинаторный алгоритм с рекордной оценкой точности 9.00 для более общей задачи с ограниченными объемами производства.
Авторы: О. В. Бородин, А. Н. Глебов
Доказано, что любая правильная раскраска двух вершин в плоском графе без 3-циклов может быть продолжена до правильной раскраски в три цвета всех вершин графа.
Авторы: А. А. Добрынин, Л. С. Мельников, А. В. Пяткин
Для $r = 6,8,10,12$ построены $r$-регулярные $4$–критические по раскраске графы, что дает частичное подтверждение гипотезы Эрдеша (1989 г.) о существовании таких графов для любого $r > 3$.
Автор: В. М. Маракулин, совместно с М. Флорезано (Франция)
В моделях с векторными решетками продуктов получены обобщения известных теорем существования экономического равновесия, основанные на новых понятиях правильности предпочтений и производственных множеств.
Авторы: С. И. Фадеев, А. Ю. Березин, В. В. Когай, И. А. Гайнова
Разработана теория гипотетических симметричных генных сетей с заданными свойствами. Проведённое качественное и численное исследование соответствующих автономных систем, явилось обоснованием критерия, сформулированного в ИЦиГ, предсказывающего предельные свойства решений.
Авторы: А. А. Колоколов, М. В. Девятерикова (ОФ ИМ СО РАН)
Предложен подход к анализу устойчивости алгоритмов решения задач целочисленного программирования, основанных на использовании релаксационных множеств задач. Доказана устойчивость алгоритмов перебора $L$-классов и некоторых двойственных дробных алгоритмов отсечения.
Утверждены на заседании Учёного совета Института 15 ноября 2002 г. (Протокол №6).