Важнейшие результаты за 2004 г.
1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
Автор: С. С. Гончаров, совместно с Дж. Найт (США), Р. Шором (США), В. Харизановым (США)
Получено синтаксическое описание универсальных аналитических отношений на вычислимых структурах. Доказано совпадение Тьюринговых степеней отношений на харрисоновых структурах и их связь с максимальными ветвями системы обозначений Клини. Найдены синтаксические условия простоты и гиперпростоты на вычислимых структурах.
Автор: С. П. Одинцов
Построено представление алгебраической семантики паранепротиворечивой логики Нельсона в терминах алгебр Гейтинга с выделенными фильтром и идеалом. Описана общая структура решетки расширений этой логики через выделение важнейших подклассов логик и соотношения между этими подклассами.
Автор: Е. А. Палютин
Найдена полная характеризация стабильно определимых классов полных теорий.
Автор: Ю. Л. Ершов
Доказана алгоритмическая разрешимость классического объекта теории чисел – кольца аделей.
Авторы: Ю. Л. Ершов, В. А. Чуркин
Решена задача Улама о точном представлении группы вращений трехмерного евклидова пространства и, более общо, линейных групп Ли перестановками счётного множества.
Автор: Е. П. Вдовин
Описаны картеровы подгруппы в классических линейных группах. В частности, доказано, что никакая простая группа не может быть группой минимального порядка, содержащей несопряженные картеровы подгруппы.
Авторы: Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин
Завершена классификация холловых подгрупп в конечных почти простых группах.
Авторы: В. Н. Ремесленников, Э. Ю. Даниярова (ОФ ИМ СО РАН)
Классифицированы ограниченные алгебраические множества над свободной алгеброй Ли.
1.1.2. Геометрия и топология
Автор: И. А. Тайманов, совместно с А. Кнауфом (Германия)
Доказана интегрируемость задачи $n$-центров при больших энергиях.
Автор: М. В. Белолипецкий
Установлены существование и единственность арифметического орбифолда минимального объема в каждом четномерном пространстве Лобачевского. Дана эффективная процедура построения такого орбифолда.
Автор: В. А. Шарафутдинов, совместно с М. И. Белишевым (Санкт-Петербург)
Оператор Дирихле-Неймана распространён на внешние дифференциальные формы на компактном римановом многообразии с краем. Получена формула, выражающая числа Бетти многообразия в терминах этого оператора.
1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
Автор: А. П. Копылов
Получен аналог свойства среднего арифметического гармонических функций для отображений, близких к гармоническим. Доказаны теоремы об устойчивости в формуле Пуассона для гармонических отображений и о локальном сглаживании квазигармонических отображений.
Автор: М. В. Нещадим
Для произвольного ассоциативного коммутативного кольца установлено тождество, связывающее произвольные конечные семейства элементов кольца и его дифференциальных операторов.
Автор: Э. Ю. Емельянов
Найдены условия регулярности марковских полугрупп на абстрактных $L_1$-пространствах.
Автор: В. Г. Романов
Получена оценка условной устойчивости решения трехмерной обратной задачи для уравнений Максвелла об определении коэффициентов диэлектрической проницаемости и проводимости.
Автор: В. С. Белоносов, совместно с В. Н. Доровским (ИГ СО РАН)
Построена гидродинамическая модель водонефтяных слоистых систем в присутствии газа. Установлена принципиальная возможность разрушения таких систем вследствие параметрического резонанса при малых периодических воздействиях. Для соответствующих дифференциальных уравнений с частными производными найдены условия возникновения параметрического резонанса и описаны границы областей динамической неустойчивости.
1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
Автор: А. А. Боровков
Найдена асимптотика вероятностей больших уклонений для случайных блужданий с разнораспределенными скачками в схеме серий. Результаты включают в себя так называемые переходные явления, когда изучаются случайные блуждания со сходящимся к нулю сносом.
1.1.5. Вычислительная математика
Автор: С. К. Годунов
Предложен алгоритм исследования спектральной структуры симплектических матриц, применяемых в задачах оптимального управления и в теории параметрического резонанса, основанный на критериях спектральной дихотомии.
Автор: С. И. Кабанихин
Получены оценки скорости сходимости методов Ньютона-Канторовича, итераций Ландвебера и метода наискорейшего спуска в обратных и некорректных задачах акустики, сейсмики, теплопроводности.
2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение
Автор: А. В. Косточка
Получены новые условия на степени вершин заданных n-вершинных графов, достаточные для их реберно-непересекающегося вложения в полный $n$-вершинный граф.
Автор: Д. Г. Фон-Дер-Флаасс
Получена рекурсивная конструкция совершенных раскрасок гиперкуба, которая позволяет строить раскраски для всех ранее известных наборов параметров, а также для бесконечного множества новых. Найдены новые необходимые условия на существование совершенной раскраски; как следствие, вопрос о ее существовании полностью решен вплоть до размерности 11.
Автор: А. А. Агеев
Построены два комбинаторных полиномиальных алгоритма для решения метрической многоуровневой задачи размещения с наилучшими гарантированными оценками точности в классе всех комбинаторных полиномиальных алгоритмов. Оценка точности второго алгоритма улучшается с уменьшением числа уровней и для случаев 2 и 3 уровней является наилучшей в классе всех полиномиальных алгоритмов (включая некомбинаторные).
Авторы: А. В. Еремеев, Л. А. Заозерская, А. А. Романова, В. В. Сервах (ОФ ИМ СО РАН)
Исследована сложность решения дискретной задачи о поставках продукции, предложены алгоритмы ее решения, выявлены классы труднорешаемых задач.
2.2.4. Проблемы искусственного интеллекта, распознавание образов, принятие решений и экспертные системы
Автор: Н. Г. Загоруйко, совместно с И. А. Борисовой (НГУ) и А. Н. Загоруйко (ИК СО РАН)
Для автоматической классификации объектов, заданных описанием своих признаков, разработаны новые критерии качества, позволяющие формировать так называемые «естественные» систематизации и классификации. Критерии основаны на максимизации прогностических свойств получаемых классификаций.
Утверждены на заседании Учёного совета Института 26 ноября 2004 года (Протокол №6).